圆锥曲线学习笔记
前言
我认为解析几何是很好的， 但现在要背道而驰， 是因为解析几何的目的并非理解， 而是机械的计算。
我的计算能力很弱， 大量的无脑计算并不适合我， 并且我要考试，感性的理解对于我来说是非常重要的，我希望用尽可能少的结论来解决问题， 而且是容易证明的， 容易理解的。
在我学习圆锥曲线的过程中， 光是推到一个标准式就用需要用一堆两点距离公式， 令人费解。 推出来的东西毫无意义可言， 这不是我能记住的
想要完全忘记很难， 也无法用于考试， 所以：我将会尽可能保留原有公式， 用新的定义和出发点来解释已有的概念， 而非直接抛弃
毕竟我要考试， 唉， 好累那开始吧 于 2021.11.22 NOIP结束后， 暂时回归whk
椭圆
定义
先是椭圆， 我们暂且抛弃你所知道的椭圆，换个定义：
椭圆是将一个圆在坐标上进行拉伸后产生的图形，
形式化的说， 对于一个圆\(O\)， 所有满足\((x, y) \in O\) 的点\((P_xx, P_yy)\)构成一个拉伸率为\((P_x, P_y)\)的椭圆， 记为\(E(O, P_x, P_y)\), 我们将圆\(O\)称为初始圆
其中\(P_x, P_y\)为两个常量， 分别表示\(x， y\)轴的拉伸率。即便我们可以把任意圆拉伸成任意椭圆， 我们还是习惯把单位圆作为初始圆，通常我们用\(E(P_x, Py)\)表示一个初始圆为单位元的椭圆， 这时候，我们只要两个变量就可以唯一确定一个椭圆，（当然，这是在没有考虑位置的情况下
这样做是对的， 这里给出证明
我们认为当\(a>0, b>0, a \neq b\)时，
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]表示一个椭圆，这是椭圆的标准式， 不再证明
对于\(E(P_x, P_y)\)中的每一个点\((x, y)\), 在初始圆中的对应点为\((\frac{x}{P_x}, \frac{y}{P_y})\), 由于初始圆为单位圆，有
\[(\frac{x}{P_x})^2 + (\frac{y}{P_y})^2 = 1 \]容易发现， 这就是椭圆的标准方程
证毕
让我们看看这样做的好处， 首先我们很好的理解了究竟什么是椭圆， 许多公式定理逐渐清晰
首先， 为什么\(a>0, b>0, a \neq b\)? 因为a，b实质上就是拉伸率，拉伸率显然不能是负数或零， 同时， 若果拉伸率相同， 显然只是将圆放大了，（事实上我认为这个条件是多余的， 圆可以认为是特殊的椭圆， 事实上一点也不特殊
我们知道：长轴在分母大的的那个轴上， 这是因为拉伸率越大， 对应的轴也越长， 极其容易证明
接下来， 我们要善用这个定义， 尤其是他的几何意义。