算法笔记--快速排序

快速排序是交换排序的一种，算法效率高，需要额外的辅助空间

1. 算法思想

          从待排序序列中选取一个元素，以其值作为中间值，把比其小的元素放到左边，比起大的元素放到右边；然后递归地对左、右部分排序，直至每一部分元素个数为1，整个序列有序。

2. 时间复杂度

          用递归树的思想，每次划分操作的元素总数都是n，因此每次划分的时间复杂度都是O(n)，接下来只需考虑划分次数：

          最好情况 O(nlogn)：每次都将序列等分为两部分，因此划分次数为logn

          最坏情况 O(n^2)：每次都有一部分只分出一个元素，因此划分次数为n

3. 空间复杂度 O(logn)

          递归调用，考虑递归栈的空间消耗

4. 稳定性

          不稳定。划分时要跨中轴交换元素，不相邻交换不稳定

5. 代码实现（C语言）

          划分时有两类方法：

          一种是挖坑法，将A[0]作为中轴值保存到value中，A[0]空出一个坑；先从后往前遍历，遇到不大于value的数A[j]，则将A[j]填到A[0]中，A[j]空出一个坑；再从前往后遍历，遇到不小于value的数A[i]，则将A[i]填到A[j]中，A[i]空出一个坑。如此循环，直至i、j重合，将value填到这个坑中。

          另一种是交换法，同时从后往前找小于value的A[j]，从前往后找不小于value的A[i]，然后交换A[i]、A[j]；循环直至i、j重合。这种方法在保证重合处的值A[i]小于value，因此递归划分时前半部分要包括A[i]。但是将等于value的值都放到后半部分了，对于有大量相同元素的序列，会因为划分不均匀而导致效率偏低，因此整体看来稍逊一筹。

          为了使中轴值取得更有效，这里采用取序列首、尾、中间元素的中值的方法，代码如下：

int Adjust(int *A, int low, int high)
{
	int ind;
	int mid = (low + high) / 2;
	int value = A[low];

	if (A[low] <= A[mid])
	{
		ind = A[mid] <= A[high] ?
			mid : (A[low] <= A[high] ? high : low);
	}
	else
	{
		ind = A[low] <= A[high] ?
			mid : (A[mid] <= A[high] ? high : mid);
	}

	if (ind != low)
	{
		value = A[ind];
		A[ind] = A[low];
		A[low] = value;
	}

	return value;
}

          另外为了接口一致，增加了一个入口函数：

void QuickSort(int *A, int n)
{
	QSort(A, 0, n - 1);
}

          接下来是快排函数，首先是挖坑版：

void QSort(int *A, int low, int high)
{
	int i, j, value;

	if (low >= high)
	{
		return;
	}

	i = low;
	j = high;
	value = Adjust(A, low, high);

	while(i < j)
	{			
		while (i < j && A[j] > value)
		{
			--j;
		}
		
		if (i < j)
		{
			A[i++] = A[j];
		}

		while (i < j && A[i] < value)
		{
			++i;
		}

		if (i < j)
		{
			A[j--] = A[i];
		}
	}
	
	A[i] = value;
	QSort(A, low, i - 1);
	QSort(A, i + 1, high);
}

          再看一下交换版：

void QSort(int *A, int low, int high)
{
	int i, j;
	int tmp, value;

	if (low >= high)
	{
		return;
	}

	i = low;
	j = high;
	value = Adjust(A, low, high);

	while (i < j)
	{
		while (i < j && A[j] >= value)
		{
			--j;
		}

		while (i < j && A[i] < value)
		{
			++i;
		}

		if (i < j)
		{
			tmp = A[i];
			A[i] = A[j];
			A[j] = tmp;
		}
	}

	QSort(A, low, i);
	QSort(A, i + 1, high);
}