从无序数组中找出第K大的数

该题目的两种实现方式,第一种是用堆排序(其中数组用到了二叉树的性质),第二种是利用快速排序来实现.

第一种:堆排序

最大堆进行升序排序,主要步骤是

1.初始化堆:将数列a[1...n]构造成最大堆。

2.交换数据:将a[1]和a[n]交换，使a[n]是a[1...n]中的最大值；然后将a[1...n-1]重新调整为最大堆。 接着，将a[1]和a[n-1]交换，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然后将a[1...n-2]重新调整为最大值。 依次类推，直到整个数列都是有序的。

        static void Swap<T>(ref T t1, ref T t2) {
            T temp = t1;
            t1 = t2;
            t2 = temp;
        }

        static void Maxheap_Down(int[] arr, int start, int end) {

            int current = start;
            int left = 2 * current + 1;
            int temp = arr[current];

            for (; left <= end; current = left, left = 2 * left + 1) {
                if (left < end && arr[left] < arr[left + 1]) {
                    left++;
                }
                if (temp >= arr[left])
                    break;
                else {
                    arr[current] = arr[left];
                    arr[left] = temp;
                }
            }
        }

        static int Heap_Find_NumberK(int[] arr, int k) {
            int n = arr.Length;
            int i;

            for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
                Maxheap_Down(arr, i, n - 1);
            }

            for (i = n - 1; i >= k-1; i--) {
                Swap(ref arr[0], ref arr[i]);
                Maxheap_Down(arr, 0, i - 1);
            }
            return arr[k - 1];
        }

堆排序时间复杂度
堆排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
堆排序是采用的二叉堆进行排序的，二叉堆就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的定义，它的深度至少是lg(N+1)。最多是多少呢？由于二叉堆是完全二叉树，因此，它的深度最多也不会超过lg(2N)。因此，遍历一趟的时间复杂度是O(N)，而遍历次数介于lg(N+1)和lg(2N)之间；因此得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。

第二种:快速排序

利用快排划分出来的主元位置再递归寻找,这种方法叫作随机选择算法。它对任何输入都可以达到O(n)的期望时间复杂度。

        static int RandPartition(int[] arr, int left, int right) {
            Random rd = new Random();
            int p = rd.Next(left, right + 1);
            Swap(ref arr[p], ref arr[left]);
            int temp = arr[left];
            while (left < right) {
                while (left < right && arr[right] > temp) { right--; count++; }
                arr[left] = arr[right];
                while (left < right && arr[left] <= temp) { left++; count++; }
                arr[right] = arr[left];
            }
            arr[left] = temp;
            return left;
        }

        static int RandSelect(int[] arr, int left, int right, int k) {
            if (left == right) {
                return arr[left];
            }
            int index = RandPartition(arr, left, right);
            int M = index + 1;
            if (M == k) {
                return arr[index];
            }
            int result = -1;
            if (M < k) {
                result = RandSelect(arr, index + 1, right, k);
            }
            else if (M > k) {
                result = RandSelect(arr, left, index - 1, k);
            }
            return result;
        }