多路平衡树之2-3查找树

2-3查找树的定义(平衡树)

• 2-结点
  • 含有一个键 (及其对应的值)和两条链 ，左链接指向2-3树中的键都小于该节点，右链接指向的2-3树中的节点都大于该结点
• 3-结点
  • 含有两个键 (及其对应的值)和三条链 ，左链接指向的2-3树中的键都小于该结点，中链接指向的2-3树中的键都位于该结点的两个键之间，右链接指向的2-3树中的键都大于该结点

插入操作

• 向2- 结点中插入新键

  • 找到键，将结点替换为一个新的含有k的3- 结点
    

• 向3- 结点中插入新键

  • 假如2-3树只包含一个3-结点，这个结点有两个键，没有空间来插入第三个键了，最自然的方式是我们假设这个点能存放三个元素，暂时使其变成一个4-结点，同时包含4条链接，然后我们将这个4-结点的中间元素提升，左边的键作为其左子结点，右边的键作为其右子结点。插入完成，变为平衡2-3查找树 ，树的高度从0变为1
    

• 向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

  • 和上面的情况一样一样，我们也可以将新元素插入到3-结点中，使其成为一个临时的4-结点，然后，将该结点中的中间元素提升到父结点即2-结点中，使其父结点成为一个3-结点，然后将左右结点分表挂在这个3-结点的恰当位置

• 向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键
  • 当我们插入的结点是3- 结点的时候，我们将该结点拆分，中间元素提升至父结点，但是此时父结点是一个3- 结点，插入之后，父结点变成了4- 结点，然后继续将中间元素提升至父结点，直至遇到一个父结点是2- 结点，然后将其变为3- 结点，不需要再次拆分

• 分解根结点
  • 当插入的结点到根结点的路径上全部是3- 结点的时候，最终我们的根结点会变成一个临时的4- 结点 ，此时，就需要将根结点拆分为两个2-结点 ，树的高度+1

2-3树的性质

• 对于一棵完全平衡的2-3树

  1. 任意的终端结点(无子树的叶结点)到根结点的路径长度都是相等的
  2. 4- 结点 变换为3结点时，树的高度不会发生变化，只有当根结点是临时的4- 结点时 ，分解根结点时，树高度+1
  3. 2-3 树与普通二叉查找树的最大区别在于，普通的二叉查找树是自顶向下生长,而2-3 树是自底向上生长 ，因为2-3二叉树 根结点子链只能是2或3，插入元素时，超过个数会将当前的多于的元素上移(向上生长)

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