1.概念
从一道例题说起
我们写一个表格看一看1-20的整除是什么样子的
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
20 | 10 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
表中同样的值会连续出现,而相同的值所划分的区间积是整出分块。整除的性质使得从1到n的数组表可根据数值划分为不同的分块,且分块数远远小于n。利用这种性质,我们如果能推导出每个分块具体的左右端点位置在哪,这个问题就可以快速求解出来了。
2.整除分块公式推导
向下取整的情形
还是说我们的例题
假设我们已知某一个分块的左端点lll,要求解出该分块的右端点rrr。设该分块的数值为kkk,对于该分块中的每个数iii,有,即,也就是说我们找到可得使成立的最大的i的值即是我们所求的右端点r,因此我们可以得到下列式子:
推导可得:
容易得到代码:
ans = 0;
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
r = n / (n / l);
ans += n / l * (r - l + 1);
}
But 还没有结束
我们再看这一道题:
抓瞎了,但是变变形应该可以做。
我们记得
以上两个公式,我们有如下
上式子可推导为
但是对于这个题目,我们给出第二种推导方式,使得一种推导方式解决多种题目。
这我们再做
我们按照上面的方式推导
不知道这时候有多少人偷笑,说自己把整除分块学会了,曾经以为自己是个王者,结果他爸来。
这个题你懵了吗,对于一对 L和R,中间的值是等差数列,相差1,归根结底还是整除分块,还是找到l和r,通过等差数列计算即可。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
long long n, k, ans = 0;
long long left = 1, right, rest;
scanf("%lld%lld", &n, &k);
while (left <= n && left <= k) //求从1到min(n, k)内的总和
{
right = min(k / (k / left), n);
rest = k % left;
ans += (rest + rest - (right - left) * (k / left)) * (right - left + 1) / 2;
left = right + 1;
}
if (n > k)
{
ans += k * (n - k);
}
cout << ans;
}
王者你会了吗?
王者自信满满的说自己会了!
王者再看看这个题
没4没4,我们就不推导向上取整了,这里只需要一个小转化,将向上取整转化为向下取整。
我们考虑没有整除的时候是不是就有
如果整除的时候就相等了,那么我们只要不加1,我们加上就可以避免这种情况,那么就可以转化为
通过上面向下取整的推到即可得到
到这里王者就可以独当一面了。