定理
若p为质数,x2≡1(modp),则x≡1(modp)或x≡p−1(modp)
证明:
移项可得:x2−1≡0(modp),也就是(x+1)(x−1)≡0(modp).
这个式子等价于p∣(x+1)(x−1).
容易想到p∣(x+1)或者p∣(x−1)都是可行的,那么有没有p∤(x−1),p∤(x+1),而p∣(x−1)(x+1)呢?
若出现上面这种情况,首先要保证的是gcd(p,x−1)>1且gcd(p,x+1)>1.可以理解为p这个因子被"拆成"了两份,一份和(x−1)融合在了一起,另一份和(x+1)融合在了一起.而p是质数,只能拆成p和1两个因子;无论怎么拆,都不能使得两个gcd同时大于1.这算是一种不严谨的证法,证明了一定有p∣(x−1)或p∣(x+1)
接下来就简单了:p∣(x+1)等价于x+1≡0(modp),即x≡p−1(modp).p∣(x−1)同理.这样就证明完毕了.