数学--数论--数论定理--欧拉定理

定理：
若GCD(a,m)=1，则满足$a^{varphi (m)} equiv 1 (mod m)$

证明:

扩展欧拉定理：
$a^bequiv egin{cases} a^{b\%phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p) eq1,b<phi(p)\ a^{b\%phi(p)+phi(p)}~~~~gcd(a,p) eq1,bgeqphi(p) end{cases}~~~~~~~(mod~p)$

证明：
当m = 1时显然成立，以下讨论m ≠ 1的情况。

对于gcd(a,m) = 1 的情况，因为aϕ(m) ≡ 1，所以每ϕ(m)个a就相当于乘1。于是只需要算c Mod ϕ(m)次。

对于c < ϕ(m)的情况，直接爆算

下面证明第三种情况。

先证明a是一个质数的情况：

引理1：
∀ p 为质数，r ∈ Z+，都有ϕ(pr) = (p−1) × pr−1。

证明：
由于p是一个质数，所以 1 ∼ (pr−1) 中有且仅有i × p, i ∈ (0,pr−1) 与pr不互质。

于是ϕ(pr) = pr − pr−1 = pr−1 × (p − 1) 。

证毕。
引理2：
∀ k ∈ Z，∃ a,b,x,y ∈ Z+ , s.t. xa × yb = k，都有 a,b ≤ ϕ(k) 。

证明：
先考虑k为一个质数p的r次幂的情况。根据引理1有：

ϕ(k) = ϕ(pr) = (p−1) × pr−1。

下面说明(p−1) × pr−1 ≥ r。

当p=2时：

经验证 r=1,2,3 时成立。当 r>3 时按照r的大小做数学归纳，可证正确性。

当 p > 2 时，不等号左侧增大，右侧不变，不等式仍然成立。

考虑k是多个质数幂时的情况，按照质数个数做数学归纳，正确性成立。

任意组合质数，引理得证。

证毕
引理3：∃ r ≤ c , s.t. aϕ(m)+r ≡ ar (Mod m)。
证明：
令m = t × ar，其中gcd(t,a)=1，t的存在性显然。

因为gcd(t,a) = 1，且ϕ函数是一个积性函数，所以ϕ(t) | ϕ(m)。

根据欧拉定理，aϕ(t) ≡ 1 (Mod t)，于是有

aϕ(m) ≡ 1 (Mod t)

同余式同乘ar，于是有

aϕ(m)+r ≡ ar (Mod m)

已经证明可以构造出这样的r。根据引理2，r ≤ ϕ(m)。又c ≥ ϕ(m)，于是可证构造出的r ≤ c。定理得证。

证毕
于是

ac ≡ ac−r+r ≡ ac−r+ϕ(m)+r ≡ ac+ϕ(m) (Mod m)

对上式做数学归纳，可得ac ≡ ac+kϕ(m) , k ∈ Z，需保证指数为正。

于是最小的合法的指数即为c Mod ϕ(m) + ϕ(m)。

于是有
ac ≡ ac Mod ϕ(m) + ϕ(m)

当a是一个质数的幂次时，设a=pk，则

ac ≡ pck ≡ pck+ϕ(m) ≡ pck+kϕ(m) ≡ (pk)c+ϕ(m) ≡ (pk)c Mod ϕ(m) + ϕ(m) (Mod m)

当a时多个质数次幂的乘积时，依据唯一分解定理做数学归纳，即证正确性。证毕。