数学--数论--同余及其性质（超详细）

定义：
$给定一个正整数m，及两个整数a、b。\如果a-b被m整除，则称a与b模m同余，记作a≡b(mod m) \否则称a与b模m不同余，记作a≢ b(mod m)。$

性质：

1. $a,b模m同余Leftrightarrow a=b+Km quad k为任意整数$
2. 自反性：$a≡a（mod quad m)$
   对称性：$a≡b（mod quad m)Leftrightarrow b≡a（mod quad m)$
   传递性：$a≡b（mod quad m)且 b≡c（mod quad m)Rightarrow a≡c (mod quad m)$
3. $a≡b（mod m)且c≡d（mod m) \则 \①a+c=b+d（mod m)\②ac=bd（mod m)$
   结论：
   $a_i≡b_i（mod quad m) (i=1,2,3.....,k)\则\ ①sum_{i=1}^{k}a_iequiv sum_{i=1}^{k}b_i(mod m)\ \ \ ②prod_{i=1}^{k}a_iequiv prod_{i=1}^{k}b_i(mod m)$
   推论：
   $① a≡b（mod quad m)Rightarrow na≡nb (mod quad m) 其中a为整数\② a≡b（mod quad m)Rightarrow a^n≡b^n (mod quad m) 其中a为整数$
4. $ac≡bc（mod quad m)且GCD(c,m)=1 Rightarrow a≡b (mod quad m)$
5. $a≡b（mod quad m)Rightarrow an≡bn (mod quad mn) 其中n>0$
6. $a≡b（mod quad m)且d|gcd(a,b,m)Rightarrow a/d≡b/d (mod quad m/d)$
7. $a≡b（mod quad m)且d|mRightarrow a≡b（mod quad d)$
8. $a≡b（mod quad m_i) (i=1,2,3.....,k) Leftrightarrow a≡b（mod quad Lcm[m_1,m_2....m_k] (i=1,2,3.....,k)$
9. $a≡b（mod quad m)Rightarrow gcd(a,m)=gcd(b,m)$

敲公式不易，转走请附上链接，谢谢。