在二维空间中,绕任意点旋转可以分解为:
1)平移旋转点到原点,2)绕原点旋转,3)逆平移旋转点;
可用矩阵表示为 ,
其中, 表示绕原点旋转 , 为平移矩阵。
在三维空间中绕任意轴旋转一个对象,可以分解为分别绕不同轴旋转一定角度。
1 绕三维坐标轴旋转
设 x,y,z 为三个正交方向上的单位向量,将他们构成三维空间坐标需要满足以下叉乘关系:
;
定义绕各个坐标轴旋转方向如下图:
当任意点绕 Z 轴旋转时,该点在 Z 轴上坐标保持不变,在 X,Y 轴上坐标轴上退化为二维旋转,如下图所示:
由 得 ,
由 得 ,
最终得: ,其中矩阵变换表示为:;
同理, 绕 X 轴旋转表示为:,绕 Y 轴旋转表示为:。
当对任意点旋转 后再旋转 ,该点回到原始位置,则旋转矩阵 是旋转矩阵 得逆矩阵,观察以上旋转矩阵可知 。
2 绕过原点任意单位向量轴旋转
当旋转轴为过原点任意轴时,可使用如下方案旋转:
1)旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合;
2)绕该坐标轴旋转;
3)使用逆旋转使旋转轴回到原始方向;
使用矩阵表示为: 。
如上图所示,u=(a,b,c) 为任意过原点旋转轴,。要旋转 u 使其与 z 轴重合,首先需将 u 轴旋转到 xz 平面。
将 u 投影到 yz 平面得 ,在 yz 平面上将 旋转 到 z 轴的旋转角等于将 u 绕 x 轴旋转到 xz 平面。
根据余弦定理得:。
利用向量叉乘求正弦:,,
求解得:。这里不使用 求解是因为该公式无法确定计算结果符号。
使用矩阵形式表示 u 绕 x 轴旋转 :,旋转后向量为:。
绕 y 轴旋转到 z 轴上的旋转角余弦为:。
利用向量叉乘求正弦:,,。
使用矩阵形式表示 绕 y 轴旋转 :。
当将任意单位坐标做旋转到与 z 轴重合后,使用以下矩阵完成真实旋转:。
然后使用逆旋转矩阵还原原始坐标(逆旋转矩阵为对应旋转矩阵的转置矩阵),实现绕任意过原点单位向量旋转。
3 罗德里格斯公式
使用罗德里格斯公式,同样可以实现绕过原点任意单位向量旋转,详细讲解在 https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/12016761.html。
该方法最终推导出了旋转矩阵为:,。
理论上来说,以上两种方案推导出的旋转矩阵应该是一致的(旋转轴与旋转角度一致情况下)。
4 引入平移
当旋转轴不过原点时,可以引入平移矩阵实现绕任意轴旋转。
假设旋转轴过点 ,,,
首先构造单位长度旋转轴向量为: ,
构造平移矩阵为:,
旋转矩阵 被改写为:,
旋转轴为以上单位旋转向量,从而实现了绕任意轴旋转。
在罗德里格斯公式中,采用同样方式构造绕任意轴旋转矩阵为:。
5 四元数描述旋转
1)四元数概念
四元数是复数到高维扩充,定义为 ,
。
将四元数表示成向量 ,
定义四元数加法为 ,
等价于 。
定义四元数乘法为 。
由于四元数平方和为 ,可定义四元数的逆为 ,使得 成立。
2)描述旋转轴为过原点任意单位向量的旋转
为旋转轴单位向量,定义 ,
则任意点 p = (x,y,z) 被描述为 ,旋转后点为 ,
使用公式 可计算出 p 点旋转后坐标 。
使用四元数计算规则可得 ,
由于 ,有 ,
。
引入向量 v 的叉积矩阵 ,上式可改写为:,实现 p 到 旋转变换。
3)与罗德里格斯公式关系
令旋转轴为单位向量(x,y,z),旋转角度为 ,旋转四元数定义为 ;
根据三角函数有 ,,
罗德里格斯公式改写为 ,
由于 ,可定义 ,
进一步改写罗德里格斯公式 ,
最终整理结果为 ;
将 整理成矩阵形式,其结果与罗德里格斯整理矩阵一致,因此验证了两种方式是一致的。
参考资料 Computer Graphics with OpenGL Donald Hearn & M. Pauline Baker & Warren R. Carithers