Problem
给出一个有向无环图 ((DAG))，求出最少使用其中多少条互不相交的路径覆盖所有点。
Solution
若有 (n) 个点，对于每个点 (i) ，我们将它拆成两个点 (i) 与 (i')，分别放在一个二分图的两侧，然后，对于有向图中的每条边 ((a,b)) 我们在二分图中将 ((a,b')) 这两个点连在一起。
当所有边在二分图中已经相应连好之后，我们跑二分图最大匹配，可以使用匈牙利，不过个人更倾向建立一个超级源点连向左侧每个点，建立一个超级汇点被右侧每个点所连，然后跑网络最大流。
假设最大流为 (maxflow) ，则最小路径覆盖数为 (n-maxflow) 。
Confirmation
由于要求选出的每条路径都要不相交，那么对于每条路径中的点，它的入度与出度均不会大于 (1) 。尤其对于每个起点，入度必定为 (0) ，每个终点出度必定为 (0) 。
那么由于 (DAG) 中的每条边都已经放到了二分图里，对于 (DAG) 最小路径选边的情况必定已经能够在二分图里选出来了。
接着我们考虑一下所要求的问题，显然一条路径只会有一个终点，且一个终点必定属于某条路径。而终点的出度又必定为 (0) 。那么这样对应的选边情况放到二分图里呢？我们就会发现：
- 对于一个点 (i) ，它指向 (j) 的出边必定在二分图上为 ((i,j'))
- 对于一个点 (i) ，如果它的出度为 (0) ，那么二分图上的 (i) 必定不与任意一个 (j') 所匹配。
- 选出的路径最少 (Leftrightarrow) 终点最少 (Leftrightarrow) 二分图左侧的未匹配点最少 (Leftrightarrow) 二分图匹配数最大
那么根据以上证明，可以得出：最少路径= 最少终点 = 总点数-最大匹配数 = (n-maxflow) 。
证毕。