最大公约数和最小公倍数

问题描述：

    求两个或者多个数的最大公约数、最小公倍数

问题解决：

（1）最大公约数-------指某几个整数共有因子中最大的一个。

            欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

（1.1）两个数的大公约数

（1.2）三个数以上的最大公约数

    考虑到可能求最大公约数的数目较多，如果使用欧几里得算法，两个数两个数的进行辗转相除，递归的深度可能会很大，那么这里使用最大公约数的定义来求解最大公约数。

思路是：

（1）求出所有数中最小的数min

（2）从min-1中，寻找可以被所有数整除的数

（1.3）如下是使用递归方法求解

（2）两个数的最小公倍数

注：关于最大公约数和最小公倍数存在如下的关系：

gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

（2.1）三个数以上的最小公倍数，使用递归方法来求解