最大子数组之和

题目：

        1、一个N个元素的一维数组，求该数组的最大子数组之和

        2、求二维数组的最大子数组之和

题目1，思路：

       使用start[i]表示包含元素i的子数组和的最大值，start[i]=max(array[i],start[i-1]+array[i])

       使用all[i]表示元素i之前的最大子数组和，all[i]=max(start[i],all[i-1])

       由于start[i]和all[i]的求解只需要用到上一次的值start[i-1]和all[i-1]，可以使用start和all表示

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAX(a,b) 
    ((a)>(b)?(a):(b))

int maxArray(int array[],int size)
{
    int start=array[0];
    int all=array[0];
    int end=0;
    int length=0;

    for(int i=1;i<size;i++)
    {
        start=MAX(array[i],start+array[i]);
        all=MAX(all,start);
        if(all==start)
        {
            end=i;
            if(start==array[i])
                length=0;
            else
                length++;
        }
    }
    cout<<"sub index:["<<end-length<<","<<end<<"]"<<endl;
    return all;
}

int main()
{
    int array[]={9,1,3,-10,16};
    int size=sizeof(array)/sizeof(int);
    cout<<"MaxArray:"<<maxArray(array,size)<<endl;
}

　　

题目2，思路：

     解法一：穷举法，枚举每一个矩形区域，求解这个矩形区域中元素的和。

     解法二：降维法

如上图所示，把i行和j行之间的元素看成一个整体，将二维降低为一维求解最大子数组和。

步骤：

       1、枚举上下边界i行和j行

       2、使用一维的方法求解二维最大子数组和

#include<iostream>
#include<limits.h>
using namespace std;

#define M 3
#define N 3

#define MAX(a,b)
    (a)>(b)?(a):(b)

int p[M][N];

//p[i][j] indicate (0,0) to (i,j) matrix sum
void init(int (*array)[N],int m,int n)
{
    //init row
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        p[i][0]=p[i-1][0]+array[i][0];
    }

    //init col
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        p[0][j]=p[0][j-1]+array[0][j];
    }

    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=1;j<n;j++)
        {
            p[i][j]=p[i-1][j]+p[i][j-1]-p[i-1][j-1]+array[i][j];
        }
    }
}

//sum row i and j with col k
int Col_ij(int i,int j,int k)
{
    int value=0;
    if(k==0)
    {
        if(i==0)
            value=p[j][k];
        else
            value=p[j][k]-p[i-1][k];
    }
    else
    {
        if(i==0)
            value=p[j][k]-p[j][k-1];
        else
            value=p[j][k]-p[j][k-1]-p[i-1][k]+p[i-1][k-1];
    }
    return value;
}

int maxArray(int (*array)[N],int m,int n)
{
    int max=-1*INT_MAX;
    int rowi=0;
    int rowj=0;
    int coli=0;
    int colj=0;

    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        for(int j=i;j<m;j++)
        {
            int start=Col_ij(i,j,0);
            int all=Col_ij(i,j,0);
            int end=0;
            int length=0;
            
            for(int k=1;k<n;k++)
            {
                int value=Col_ij(i,j,k);
                start=MAX(value,start+value);
                all=MAX(start,all);
                if(all==start)
                {
                    end=k;
                    if(start==value)
                        length=0;
                    else
                        length++;
                }
            }
            
            if(all>max)
            {
                max=all;
                rowi=i;
                rowj=j;
                coli=end-length;
                colj=end;
            }
        }
    }
    cout<<"row:"<<"["<<rowi<<","<<rowj<<"]"<<endl;
    cout<<"col:"<<"["<<coli<<","<<colj<<"]"<<endl;
    return max;
}

int main()
{
    int array[M][N]={
        {-1,2,-3},
        {-2,5,2},
        {3,4,3}        
    };
    init(array,M,N);

    int max=maxArray(array,M,N);
    cout<<"max:"<<max<<endl;
}