扩展欧几里得(exgcd)
模板先打上
void exgcd(ll a,ll b)
{
if(!b)
{
x1=1;y1=0;return;
}
exgcd(b,a%b);
ll t=x1;
x1=y1;y1=t-a/b*y1;
}
扩欧一般用来求解形如 (ax+by=gcd(a,b)) 的不定方程，同时也可以用于求乘法逆元，这之后再讲。
一般来说，通过上述函数求出来的只是一组特解，很多情况下并不是我们需要的答案，所以还要对其进行处理。大多数情况下，题目都会要求我们求 (x) 的最小正整数解，此时 (x) 一般等于 ((x\%p+p)\%p) ,这就是 (x) 的最小正整数解。
最简单的一道例题：P1082 同余方程
再来看更难的模板题：P5656 【模板】二元一次不定方程(exgcd)
这里要求的是 (ax+by=c) 的解，要求很多，我们一个一个来看。首先判无解的情况，这里我设 (d=gcd(a,b))，可以发现，如果 (d mid c) ,那么这个方程就没有整数解。
为什么呢？可以证明，因为题中 (x,y) 均为整数，且 (a) 和 (b) 一定是 (d) 的倍数，所以 (ax+by) 也一定是 (d) 的倍数，又因为 (c=ax+by) ,所以 (c\%d=0) 可以得证。
因此，若 (d mid c) ,则方程无整数解。
若有整数解，我们可以设 (a'=a/d,b'=b/d,c'=c/d) , 并用 (exgcd) 求出 (a'x_0+b'y_0=1) 的一组整数解 (x_0,y_0) ，则 (a'c'x_0+b'c'y_0=c') ,两边再同乘 (d) ,就得到 (ac'x_0+bc'x_0=c) ,由此得到原方程的一组特解 (x_1=c'x_0,y_1=c'y_0) 。
此时我们可以先把 (x) 的最小正整数解算出来，即 (x_{min}=(x\%b+b)\%b) ，要注意的是若 (x\%b=0) ，则 (x_{min}=b) 。
观察方程可知，当 (x) 越小时，(y) 越大，所以此时与 (x_{min}) 对应的那个 (y) 即为 (y) 的最大正整数解。因为 (a'x_{min}+b'y_{max}=c') ，所以 (y_{max}=frac{c'-a'x_{min}}{b'}) 。
若此时的 (y_{max}>0) ，则说明有正整数解，于是可以同理求出 (x_{max}) 与 (y_{min}) ，然后因为 (x_{min}) 与 (x_{max}) 之间每隔 (b') 个数就有一个解，所以正整数解的个数为 ((x_{max}-x_{min})/b'+1) 。
若此时 (y_{max}le 0) ，则说明没有正整数解，同理计算出 (y_{min}) 即可。
习题
乘法逆元
定义：对于形如 (axequiv 1pmod b) 的同余方程，此时 (x) 的最小正整数解即为 (a) 的逆元。
是不是感觉有些熟悉？没错，这和我们上面的例题P1082一模一样。可以将其化为 (ax+by=1) 的不定方程，并使用扩欧求解。
但求逆元不只能用扩欧，还可以用费马小定理+快速幂，但是博主不会，所以等以后再讲。
模板题：P3811 【模板】乘法逆元
除了上述两种方法，还有一种 (O(n)) 求逆元的递推方法。这里给出公式，先设 (inv(i)) 为 (i) 在模 (p) 意义下的逆元，则 (inv(i)=(ll)p-p/i*inv(p\%i)\%p) ，初始条件为 (inv(1)=1,inv(0)=0) 。
如果要求某一个数模 (p) 的逆元，可以使用此公式递归求解，证明请见模板题解。
中国剩余定理(CRT)
中国剩余定理是用于求解形如
同余方程组的定理，其中 (m_1,m_2,ldots,m_k) 为两两互质的整数，要求找出 (x) 的最小非负整数解。
求解过程
首先设 (M) 为 (prod_{i=1}^km_i) ，(M_i=frac{M}{m_i}), (M_it_iequiv 1pmod {m_i})。
可以看出来 (t_i) 即为 (M_i) 的逆元，可以构造出一个解 (x_0=sum_{i=1}^ka_iM_it_i) ，我们要求的答案 (x) 即为 (x_0\%M) 。
证明请看题解，搞不搞懂无所谓谁叫信息学只看答案呢
模板题：P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪
主要部分代码
void exgcd(ll a,ll b,int i)
{
if(!b)
{
x[i]=1;y[i]=0;return;
}
exgcd(b,a%b,i);
ll t=x[i];
x[i]=y[i];y[i]=t-a/b*y[i];
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
M*=a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
m[i]=M/a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
exgcd(m[i],a[i],i);
X+=b[i]*m[i]*(x[i]<0?x[i]+a[i]:x[i]);
}
printf("%lld",X%M);
return 0;
}