设等边三角形三个顶点坐标 （0,0） （a，b） （c，d）
三边相等得 L = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = (a-b)^2 + (c-d)^2
= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac - 2bd
化解可得 L=2ac+2bd
设 （a，b，c，d）的最大公约数为B
a'=a/B b'=b/B c'=c/B
（1）那么（a'，b'，c'，d')最大公约数为 1 （a'，b'，c'，d'中必有奇数）
（2）有L' = a'^2 + b'^2 = c'^2 + d'^2 = (a'-b')^2 + (c'-d')^2
= a'^2 + b'^2 + c'^2 + d'^2 - 2a'c' - 2b'd' = 2（ac+bd）
则L'必为偶数
因为a'和b' ，c'和d'同奇偶，所以a'，b'，或c'，d'为奇数；
(一个奇数2x+1的平方，(2x+1)^2=4*x^2 + 4*x +1 被4除余1）
所以 a'^2，b'^2或c'^2，d'^2 被4除余1；
因为 L' = a'^2 + b'^2 = c'^2 + d'^2
所以 L'被4除余2；
设 a' ，b'为奇数
1. c'，d'也为奇数
那么L'=(a'-b')^2 + (c'-d')^2 被4除余0，矛盾排除；
2.c'，d'为偶数
那么L'=c'^2 + d'^2被4除余0，矛盾排除；
综上所述正三角形的三个顶点不能画在格点上面（所有坐标为整数）