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title: 训练指南 网络流题集
author: "luowentaoaa"
catalog: true
mathjax: true
tags:
- 网络流
- 图论
- 训练指南
A.UVA - 11248 (最大流，最小割)
题意
给定一个有向网络，每条边均有一个容量。问是否存在一个从点1到点N，流量为C的流。如果不存在，是否可以恰好修改一条弧的容量，使得存在这样的流。
思路
先求一遍最大流，如果大于等于C，那么就直接输出possible。
否则的话就是最大流达不到C，那么对哪些边进行扩容呢，肯定是选择最小割！
将最小割的边集全部求出来，之后每条边都尝试将容量变为C，看看能否达到要求。
优化一：求完最大流后把流量留着，以后每次在它的基础上增广。
优化二：每次没必要求出最大流，增广到流量至少为C时就可以停下来。
搞不到为什么刘汝佳代码那么快
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
struct Edge{
int from,to,cap,flow;
Edge(int u,int v,int c,int f)
:from(u),to(v),cap(c),flow(f){}
bool operator<(const Edge& a)const{
return from<a.from||(from==a.from&&to<a.to);
}
};
struct Dinic{
int n,m,s,t;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[maxn];
bool vis[maxn];
int d[maxn];
int cur[maxn];
void init(int n){
this->n=n;
for(int i=0;i<n;i++)G[i].clear();
edges.clear();
}
void ClearFlow(){
for(int i=0;i<edges.size();i++)edges[i].flow=0;
}
void AddEdge(int from,int to,int cap){
edges.push_back(Edge(from,to,cap,0));
edges.push_back(Edge(to,from,0,0));
m=edges.size();
G[from].push_back(m-2);
G[to].push_back(m-1);
}
bool BFS(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0,sizeof(d));
queue<int>q;
q.push(s);
d[s]=0;
vis[s]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
Edge& e=edges[G[x][i]];
if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow){
vis[e.to]=1;
d[e.to]=d[x]+1;
q.push(e.to);
}
}
}
return vis[t];
}
int DFS(int x,int a){
if(x==t||a==0)return a;
int flow=0,f;
for(int &i=cur[x];i<G[x].size();i++){
Edge& e=edges[G[x][i]];
if(d[x]+1==d[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
e.flow+=f;
edges[G[x][i]^1].flow-=f;
flow+=f;
a-=f;
if(a==0)break;
}
}
return flow;
}
int Maxflow(int s,int t){
this->s=s;this->t=t;
int flow=0;
while(BFS()){
memset(cur,0,sizeof(cur));
flow+=DFS(s,inf);
}
return flow;
}
vector<int>Mincut(){ /// call this after maxflow
vector<int>ans;
for(int i=0;i<edges.size();i++){
Edge& e=edges[i];
if(vis[e.from]&&!vis[e.to]&&e.cap>0)ans.push_back(i);
}
return ans;
}
void Reduce(){
for(int i=0;i<edges.size();i++)edges[i].cap-=edges[i].flow;
}
}g;
int main()
{
int n,e,c,kase=0;
while(scanf("%d%d%d",&n,&e,&c)==3&&n){
g.init(n);
while(e--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g.AddEdge(a-1,b-1,c);
}
int flow=g.Maxflow(0,n-1);
printf("Case %d: ",++kase);
if(flow>=c)printf("possible
");
else{
vector<int>cut=g.Mincut();
g.Reduce();
vector<Edge>ans;
for(int i=0;i<cut.size();i++){
Edge& e=g.edges[cut[i]];
e.cap=c;
g.ClearFlow();
if(flow+g.Maxflow(0,n-1)>=c)ans.push_back(e);
e.cap=0;
}
if(ans.empty())printf("not possible
");
else{
sort(ans.begin(),ans.end());
printf("possible option:(%d,%d)", ans[0].from+1, ans[0].to+1);
for(int i = 1; i < ans.size(); i++)
printf(",(%d,%d)", ans[i].from+1, ans[i].to+1);
printf("
");
}
}
}
return 0;
}
B.UVALive - 2531 （构图最大流）
题意
有 n 个队伍进行比赛，每个队伍比赛数目是一样的，每场恰好一个胜一个负，给定每个队伍当前胜的场数败的数目，以及两个队伍剩下的比赛场数，问你冠军队伍可能是哪些队。
思路
对每个队伍 i 进行判断是不是能冠军，最优的情况的就是剩下的比赛全都胜，也就是一共胜的数目就是剩下的要比赛的数再加上原来胜的数目sum，然后把每两个队伍比赛看成一个结点，(u, v)，然后从 s 向 结点加一条容量要打的比赛数目的容量，然后从 (u, v) 向 u 和 v 分别加一条容量为无穷大的边，然后每个 u 向 t 加一条容量为 sum - w[i] ，跑一个最大流，如果是满流是，那么就是有解，也就是 i 可能是冠军。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=700+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
struct Edge{
int from,to,cap,flow;
Edge(int u,int v,int c,int f)
:from(u),to(v),cap(c),flow(f){}
bool operator<(const Edge& a)const{
return from<a.from||(from==a.from&&to<a.to);
}
};
struct Dinic{
int n,m,s,t;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[maxn];
bool vis[maxn];
int d[maxn];
int cur[maxn];
void init(int n){
this->n=n;
for(int i=0;i<n;i++)G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from,int to,int cap){
edges.push_back(Edge(from,to,cap,0));
edges.push_back(Edge(to,from,0,0));
m=edges.size();
G[from].push_back(m-2);
G[to].push_back(m-1);
}
bool BFS(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0,sizeof(d));
queue<int>q;
q.push(s);
d[s]=0;
vis[s]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
Edge& e=edges[G[x][i]];
if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow){
vis[e.to]=1;
d[e.to]=d[x]+1;
q.push(e.to);
}
}
}
return vis[t];
}
int DFS(int x,int a){
if(x==t||a==0)return a;
int flow=0,f;
for(int &i=cur[x];i<G[x].size();i++){
Edge& e=edges[G[x][i]];
if(d[x]+1==d[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
e.flow+=f;
edges[G[x][i]^1].flow-=f;
flow+=f;
a-=f;
if(a==0)break;
}
}
return flow;
}
int Maxflow(int s,int t){
this->s=s;this->t=t;
int flow=0;
while(BFS()){
memset(cur,0,sizeof(cur));
flow+=DFS(s,inf);
}
return flow;
}
}g;
const int maxt=25+5;
int n,w[maxt],d[maxt],a[maxt][maxt];
inline int ID(int u,int v){return u*n+v+1;}
inline int ID(int u){return n*n+u+1;}
bool canWin(int team){
int total=w[team];
for(int i=0;i<n;i++)total+=a[team][i];
for(int i=0;i<n;i++)
if(w[i]>total)return false;
g.init(n*n+n+2);
int full=0;
int s=0,t=n*n+n+1;
for(int u=0;u<n;u++){
for(int v=u+1;v<n;v++){
if(a[u][v]>0)g.AddEdge(s,ID(u,v),a[u][v]);
full+=a[u][v];
g.AddEdge(ID(u,v),ID(u),inf);
g.AddEdge(ID(u,v),ID(v),inf);
}
if(w[u]<total)g.AddEdge(ID(u),t,total-w[u]);
}
return g.Maxflow(s,t)==full;
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>w[i]>>d[i];
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)cin>>a[i][j];
bool first=true;
for(int i=0;i<n;i++)
if(canWin(i)){
if(first)first=false;else cout<<" ";
cout<<i+1;
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
C.UVA - 10779 (构图最大流)
题意
Bob与他的朋友交换贴纸;他的这些朋友只交换自己没有的贴纸;且用的是自己所有的重复贴纸;现在要求Bob最大能得到多少张贴纸; （Bob可以不只用重复的贴纸）
思路
把人和物品都进行编号,添加原点s和汇点e,s到每个物品连边容量为Bob拥有的数目;所有物品向汇点e连边容量为1;
如果一个人向他拥有的物品连边,容量为数目减1,表示他自己会留一个;如果他不拥有某件物品,则物品向这个人连一条边,表示这个人最多接受一件这个物品;
然后跑一遍最大流就是答案了;
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=700+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
struct Edge{
int from,to,cap,flow;
Edge(int u,int v,int c,int f)
:from(u),to(v),cap(c),flow(f){}
bool operator<(const Edge& a)const{
return from<a.from||(from==a.from&&to<a.to);
}
};
struct Dinic{
int n,m,s,t;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[maxn];
bool vis[maxn];
int d[maxn];
int cur[maxn];
void init(int n){
this->n=n;
for(int i=0;i<n;i++)G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from,int to,int cap){
edges.push_back(Edge(from,to,cap,0));
edges.push_back(Edge(to,from,0,0));
m=edges.size();
G[from].push_back(m-2);
G[to].push_back(m-1);
}
bool BFS(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0,sizeof(d));
queue<int>q;
q.push(s);
d[s]=0;
vis[s]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
Edge& e=edges[G[x][i]];
if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow){
vis[e.to]=1;
d[e.to]=d[x]+1;
q.push(e.to);
}
}
}
return vis[t];
}
int DFS(int x,int a){
if(x==t||a==0)return a;
int flow=0,f;
for(int &i=cur[x];i<G[x].size();i++){
Edge& e=edges[G[x][i]];
if(d[x]+1==d[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
e.flow+=f;
edges[G[x][i]^1].flow-=f;
flow+=f;
a-=f;
if(a==0)break;
}
}
return flow;
}
int Maxflow(int s,int t){
this->s=s;this->t=t;
int flow=0;
while(BFS()){
memset(cur,0,sizeof(cur));
flow+=DFS(s,inf);
}
return flow;
}
}g;
const int maxt=30+5;
int n,w[maxt],d[maxt],a[maxt][maxt],m;
inline int ID(int u){return u;}///物品
inline int PID(int u){return m+u;}
int S,T;
void build(){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(a[1][i])
g.AddEdge(S,i,a[1][i]);
}
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(a[i][j]>=2){
g.AddEdge(PID(i),ID(j),a[i][j]-1);
}
else if(!a[i][j]){
g.AddEdge(ID(j),PID(i),1);
}
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
g.AddEdge(ID(i),T,1);
}
}
int main()
{
int t;
int cast=1;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>m;
g.init(n+m+2);
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
int tot;cin>>tot;
while(tot--){
int aa;
cin>>aa;
a[i][aa]++;
}
}
S=0,T=n+m+1;
build();
cout<<"Case #"<<cast++<<": ";
cout<<g.Maxflow(S,T)<<endl;
}
return 0;
}
D.UVA - 11613 (最大费用流)
题意
A公司生产一种元素，给出该元素在未来M个月中每个月的单位售价，最大生产量，生产成本，最大销售量和最大存储时间，和每月存储代价，问这家公司在M个月内所能赚大的最大利润
思路
建边的时候，费用我用的是相反数，所以得到最小费用后要去相反数
MCMF的时候，用一个数组纪录了到达汇点时所花费的最小价值，因为取的是相反数，所以当价值为正时，就表示已经亏本了，所以可以退出了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=700+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
struct Edge{
int from,to,cap,flow,cost;
Edge(int u,int v,int c,int f,int w)
:from(u),to(v),cap(c),flow(f),cost(w){}
};
struct MCMF{
int n,m;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[maxn];
int inq[maxn];
int d[maxn];
int p[maxn];
int a[maxn];
void init(int n){
this->n=n;
for(int i=0;i<n;i++)G[i].clear();
edges.clear();
}
void AddEdge(int from,int to,int cap,int cost){
edges.emplace_back(from,to,cap,0,cost);
edges.emplace_back(to,from,0,0,-cost);
m=edges.size();
G[from].push_back(m-2);
G[to].push_back(m-1);
}
bool BellmanFord(int s,int t,int& flow,ll& cost){
for(int i=0;i<n;i++)d[i]=inf;
memset(inq,0,sizeof(inq));
d[s]=0;
inq[s]=1;
p[s]=0;
a[s]=inf;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop();
inq[u]=0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
Edge& e=edges[G[u][i]];
if(e.cap>e.flow&&d[e.to]>d[u]+e.cost){
d[e.to]=d[u]+e.cost;
p[e.to]=G[u][i];
a[e.to]=min(a[u],e.cap-e.flow);
if(!inq[e.to]){
q.push(e.to);
inq[e.to]=1;
}
}
}
}
if(d[t]>0)return false;
flow+=a[t];
cost+=(ll)d[t]*(ll)a[t];
for(int u=t;u!=s;u=edges[p[u]].from){
edges[p[u]].flow+=a[t];
edges[p[u]^1].flow-=a[t];
}
return true;
}
int MincostMaxflow(int s,int t,ll& cost){
int flow=0;
cost=0;
while(BellmanFord(s,t,flow,cost));
return flow;
}
}g;
int main()
{
int t;
int cast=1;
cin>>t;
int month,st_cost;
while(t--){
cin>>month>>st_cost;
g.init(month*2+2);
int source=0,sink=2*month+1;
for(int i=1;i<=month;i++){
int make_cost,make_limit,price,sell_limit,max_store;
cin>>make_cost>>make_limit>>price>>sell_limit>>max_store;
g.AddEdge(source,i,make_limit,make_cost);
g.AddEdge(month+i,sink,sell_limit,-price);
for(int j=0;j<=max_store;j++){
if(i+j<=month)
g.AddEdge(i,month+i+j,inf,st_cost*j);
}
}
ll cost=0;g.MincostMaxflow(source,sink,cost);
cout<<"Case "<<cast++<<": "<<-cost<<endl;
}
return 0;
}