海明码 CRC冗余校验码

　　海明码（也叫汉明码）具有一位纠错能力。本文以1010110这个二进制数为例解释海明码的编码和校验方法

确定校验码的位数x

　　设数据有n位，校验码有x位。则校验码一共有2^x种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确，剩下2^x-1种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+x位，因此x应该满足

2^x-1 ≥　n+x　　　

　　使不等式成立的x的最小值就是校验码的位数。在本例中，n=7，解得x=4。

确定校验码的位置

　　校验码在二进制串中的位置为2的整数幂。剩下的位置为数据。如图所示。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

确认校验位数据位关系

　　将每个位置，都拆成校验位位置值相加，可知道一个校验位跟哪些数据位有关系 

　　

求出校验位的值

　　以求x2的值为例。为了直观，将表格中的位置用二进制表示。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

　　

　　为了求出x2,要使所有位置的第二位是1的数据（即形如**1*的位置的数据）的异或值为0。即x2^1^1^0^1^0 = 0。因此x2 = 1。

　　同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

　　因此1010110的海明码为01110100110。

　　校验

　　假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为：

　　将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据分别异或。

　　***1: 0^1^0^0^1^1 = 1

　　**1*: 1^1^1^0^1^1 = 1

　　*1**: 1^0^1^0 = 0 

　　1***: 0^1^1^1 = 1

　　以上四组中，如果一组异或值为1，说明该组中有数据出错了。***1 **1* 1***的异或都为1，说明出错数据的位置为1011。

CRC冗余校验

 

    CRC的实现原理十分易于硬件实现，因此被广泛的应用于计算机网络上的差错控制。CRC校验码需根据CRC生成多项式进行。

    关于软考中涉及到的海明码和CRC校验码，主要是两种的验证方式。海明码的校验过程比较复杂，在计算机中不经常用，而CRC校验码比较容易，先确定校验码的位数，以及除数是什么？所以个人感觉想要掌握这两种情况，就需要分析的方式。

实例：原始报文为11001010101，其多项式为X⁴+X³+X+1。在原始报文的后面若干个0（等于校验码的位数，而生成多项式的最高幂次就是校验位数，即使用该生成多项式产生的校验码为4位）作为被除数，除以生成多项式所对应的二进制数。

X⁴+X³+X+1对应的二进制为11011，则除数作为11011

运算时可借位，但被借的位数值不变，如01减10=11

                 

然后把0011添加到原始报文的后面就是结果110010101010011。 

参考：

  海明码的编码和校验方法

【软考】——海明码和CRC码