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  • 2020牛客暑期多校训练营(第二场)F二维单调队列

     本题所用到的算法:二维单调队列

    一维单调队列:

     首先不难分析窗口是这样滑动的:

    如果我们使用尺取/滑动窗口,时间复杂度为O(n*k),当k很大时容易超时。本题采用单调队列优化

    所谓单调队列即双端队列,队列中的值是单调的,在每次滑动之后维持队列的单调性

    对于本题来说,每次都是最左端的数移除队列,最右边的数加入队列,由于队列的单调性我们直接取队列的最左端的值,即为区间最值

    对于此题来说需要降序的单调队列:

    对于新加入的数,我们需要判断前面是否都是比它大的。因为如果它更大,区间在移动过程中(实际是该数慢慢左移直到移出队列过程中),前面的数不可能作为最大值,所以我们需要降序维持队列单调性

    队列中直接存每个数吗?

    • 一开始我也是这么想的,但是写着写着发现无法实现,如果我们存数的话我们需要知道当前队列的长度是否超过k。但是区间长度是变化的,一般小于k,因此没有办法动态维护

    • 因此我们存每个数的下标去操作,具体看下面的常规代码

    常规代码:

    #include <set>
    #include <map>
    #include <stack>
    #include <queue>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    #define lowbit(x) (x&(-x))
    typedef long long ll;
    typedef unsigned long long ull;
    typedef pair<int,int> P;
    const double eps=1e-8;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    const ll INF=1e18;
    const int Mod=1e9+7;
    const int maxn=2e5+10;
    
    int q[maxn],a[maxn];  //数组维护双端队列即可
    
    int main(){
        int n,k;
        cin>>n>>k;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        int l=1,r=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){   //注意边界的判断
            while(r-l>0 && q[l]<=i-k) 
                l++;  //将前面超过长度k的删除
            while(r-l>0 && a[q[r-1]]<=a[i])
                r--;  //将小于这个下标值删除,注意这里是a[q[r-1]]
            q[r++]=i;  //每次添加当前下标
            if(i>=k) 
                cout<<a[q[l]]<<" "; //只有长度达到k之后才能输出区间最值
        }
        return 0;
    }
    //8 3
    //2 3 4 2 6 2 5 1

    本题:

    思路:

        考虑 一维 求每一行每k 个元素的最大值 ,很容易想到单调队列(滑动窗口),可以维护每个长度为 k 的区间的最大值,但这里是二维的,其实只要在一维的基础上 再对列做单调队列。因为在一维单调队列的基础上,我们已经求得了第 i 行 第 j个元素为起点长度为 k 的区间的最大值 ,在求整个区间时就只要用我们已经得到的值来求就好了。

    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn = 5e3+5;
    int a[maxn][maxn],ans[maxn][maxn],que[maxn];
    int gcd(int a,int b){
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
    int lcm(int a,int b){
        return a*b/gcd(a,b);
    }
    
    int main(){
        int n,m,k;
        cin>>n>>m>>k;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                a[i][j]=lcm(i,j);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int head=1,tail=1;
            for(int j=1;j<=m;j++){
                while(tail-head>0&&que[head]<=j-k) head++;
                while(tail-head>0&&a[i][que[tail-1]]<=a[i][j]) tail--;
                que[tail++]=j;
                ans[i][j] = a[i][que[head]];
    //            cout<<ans[i][j]<<endl;
            }
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int head=1,tail=1;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                while(tail-head>0&&que[head]<=i-k) head++;
                while(tail-head>0&&ans[que[tail-1]][j]<=ans[i][j]) tail--;
                que[tail++] =i;
                ans[i][j] = ans[que[head]][j];
    //            cout<<ans[i][j]<<endl;
            }
        }
        ll anss=0;
        for(int i=k;i<=n;i++){
            for(int j=k;j<=m;j++){
                anss+=ans[i][j];
    //            cout<<ans[i][j]<<" ";
            }
    //        cout<<endl;
        }
        cout<<anss<<endl;
        return 0;
    }
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