AVL树

AVL树是一种平衡二叉搜索树，在渐进意义下，可以保证树的高度为logn，查找、插入和删除操作均可以在O(logn)时间内完成。AVL树的名字来源，是提出它的人0 0

引入平衡因子的概念，任一节点的平衡因子定义为其左右子树的高度差。

AVL树的限定，是任何一个节点的平衡因子绝对值不大于1。可以通过继承BST来得到AVL树，只需要重写节点的插入和删除操作即可。可以证明，AVL树最少节点数为fib(h+3)-1，此时的树称为斐波那契AVL树。

#include"BST.h"
template<typename T> class AVL :public BST<T>
{
public:
    BinNodePosi(T) insert(const T& e) override;
    bool remove(const T& e) override;
};

节点的插入操作，总体与BST相同，不同之处在于，如果插入后原树不满足AVL树的条件，需要进行旋转操作，重新平衡。旋转重平衡可以分为单旋和双旋，如下图所示。可以发现，旋转后以g为根的子树高度-1.

template<typename T> BinNodePosi(T) AVL<T>::insert(const T& e)//O(logn)
{
    //std::cout << "haha" << std:: endl;
    BinNodePosi(T)& x = search(e); if (x) return x;
    BinNodePosi(T) xx = x = new BinNode<T>(e, _hot); _size++;//此时x的父亲_hot若增高，则祖父有可能失衡
    for (BinNodePosi(T) g = _hot; g; g = g->parent)//从_hot检查是否失衡，用3+4算法回复
    {
        if (!AvlBalanced(*g))
        {
            FromParentTo(*g) = rotateAt(tallerChild(tallerChild(g))); break;//并将子树重新接入原树
        }//旋转的输入参数为g较高的孙子
        else
            updateHeight(g);//更新高度，即使未失衡也可能高度增加
    }
    //std::cout << "xixi" << std::endl;
    return xx;//返回新节点的位置
}

rotateAt()在后面实现。可以证明，插入操作一旦造成一个节点失去平衡，那么其父亲也有可能失去平衡。不过，如果其父亲未失去平衡，那么更高的祖先可以不必检查，必然未失衡。因此，循环可以考虑改进，一旦一个节点失衡而某一个祖先未失衡，算法可以停止。重平衡的操作有两种情况，单旋或者双旋可以使得AVL树重新平衡。

节点的删除操作，流程上类似。不过，删除操作每次只会导致一个节点失衡。可以发现，重新平衡后，以p为根的子树高度可能会降低也可能保持不变。因此，对这个节点进行旋转恢复平衡，可能会导致更高层的节点失衡，这种现象称为失衡传播。因此，需要从下到上检查节点才能保证恢复平衡。

template<typename T> bool AVL<T>::remove(const T& e)//O(logn)
{
    BinNodePosi(T)& x = search(e); if (!x) return false;
    removeAt(x, _hot); _size--;
    for (BinNodePosi(T) g = _hot; g; g = g->parent)//从_hot开始向上检查,可能造成失衡传播
    {
        if (!AvlBalanced(*g))
            g = FromParentTo(*g) = rotateAt(tallerChild(tallerChild(g))); //原父亲
            updateHeight(g);//更新高度，即使未失衡也可能高度增加
    }//最坏情况需要做O(logn)次
    return true;//返回新节点的位置
}

最后，实现重新恢复平衡的方法。其实，综合以上的单旋和双旋情况，可以综合为一个统一的问题，即三个节点和四棵子树的重新组合，具体如下图：

 

因此，可以把插入和删除的单双旋操作统一纳入到框架中，分情况连接这三个节点和四棵子树：

template<typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::connect34(BinNodePosi(T) a, BinNodePosi(T) b, BinNodePosi(T) c,
    BinNodePosi(T) T0, BinNodePosi(T) T1, BinNodePosi(T) T2, BinNodePosi(T) T3)
{
    a->lc = T0; if (T0) T0->parent = a;
    a->rc = T1; if (T1) T1->parent = a; updateHeight(a);
    c->lc = T2; if (T2) T2->parent = c;
    c->rc = T3; if (T3) T3->parent = c; updateHeight(c);
    b->lc = a; a->parent = b;
    b->rc = c; c->parent = b; updateHeight(b);
    return b;//返回新树的根节点
}
template<typename T> BinNodePosi(T) BST<T>::rotateAt(BinNodePosi(T) v)
{
    BinNodePosi(T) p = v->parent; BinNodePosi(T) g = p->parent;//根据v,p,g相对位置分四种情况
    if(IsLChild(*p))//zig,p是左孩子
        if (IsLChild(*v))//zig-zig
        {
            p->parent = g->parent;
            return connect34(v, p, g, v->lc, v->rc, p->rc, g->rc);
        }
        else //zig-zag
        {
            v->parent = g->parent;
            return connect34(p, v, g, p->lc, v->lc, v->rc, g->rc);
        }
    else//zag,p是右孩子
        if (IsRChild(*v))
        {
            p->parent = g->parent;
            return connect34(g, p, v, g->lc, p->lc, v->lc, v->rc);
        }
        else
        {
            v->parent = g->parent;
            return connect34(g, v, p, g->lc, v->lc, v->rc, p->rc);