全连接的BP神经网络

《全连接的BP神经网络》

本文主要描述全连接的BP神经网络的前向传播和误差反向传播，所有的符号都用Ng的Machine learning的习惯。下图给出了某个全连接的神经网络图。

1前向传播

1.1前向传播

分别计算第l层神经元的输入和输出；

1.1.1偏执项为1时

向量整体形式：

分量形式：

    

1.1.2偏执项为b时

向量整体形式：

分量形式：

    

1.2网络误差

1.2.1偏执项为1时

对于某一个输入样本，它的输出为，它所对应的真实输出应该为，那么，该样本对应的误差E为

         （1）

注意到输出层的第k个神经元的输出可以计算如下：

        （2）

那么，误差E可以展开至隐藏层(第L-1层)的形式

        （3）

又注意到隐藏层(第L-1层)的第j个神经元的输出可以计算如下：

        (4)

那么，误差E进一步展开至隐藏层(第L-2层)

        (5)

可以发现，E是权值的函数。

1.2.2偏执项为b时

对于某一个输入样本，它的输出为，它所对应的真实输出应该为，那么，该样本对应的误差E为

         (6)

注意到输出层的第k个神经元的输出可以计算如下：

         (7)

那么，误差E可以展开至隐藏层(第L-1层)的形式

         (8)

又注意到隐藏层(第L-1层)的第j个神经元的输出可以计算如下：

         (9)

那么，误差E进一步展开至隐藏层(第L-2层)

         (10)

可以发现，E是权值和偏执项的函数。

2误差反向传播中的敏感度

某一层的敏感度的定义为：网络的误差对该层的输入的偏导数，即

2.1偏执项为1时的敏感度

2.1.1输出层的敏感度

输出层（第L层）的第k个神经元的敏感度定义如下：

    

为了计算该敏感度，利用链式法则，引入中间变量（第L层的第k个神经元的输出）：

         (11)

首先，计算：

然后，计算：

这里的f为sigmoid函数，有：

从而可以得到：

         (12)

那么，第L层的所有神经元的敏感度为：

         (13)

2.1.2其他层

计算第L-1层的第j个神经元的敏感度，定义如下：

    

为了计算该敏感度，利用链式法则，引入中间变量（第L-1层的第j个神经元的输出）：

         (14)

首先，计算：    

其中：

则有：

然后，计算：

从而可以得到：

         (15)

其中：

那么，第L-1层的所有神经元的敏感度为

         (16)

以上推导是由第L层的敏感度计算第L-1层的敏感度，那么，利用递推方法可以得到第l层的敏感度的计算方法（l=L-1,…,2）：

         (17)

2.2偏执项为b时的敏感度

推导过程中，只有一处发生改变，即隐藏层的计算式发生如下改变，但结果并没有改变，所以不会对最终的敏感度的计算公式造成影响：

3梯度的计算

3.1单个样本（偏执项为1时）的梯度

此时的待优化参数只有权值矩阵中的元素，计算误差E对第l层的权值矩阵的偏导数：

    

对于其中的某一个元素，计算如下：

那么，整个求导矩阵计算如下：

即：

3.2单个样本（偏执项为b时）的梯度

此时的待优化参数为权值矩阵中的元素和偏执项b；

首先计算误差E对第l层的权值矩阵的偏导数：

    

对于其中的某一个元素，计算如下：

那么，整个求导矩阵计算如下：

接下来，计算误差E对第l层的偏执项矩阵的偏导数：

对于其中的某一个元素，计算如下：

所以，整个偏执项求得到计算如下：

3.3m个样本的梯度求解（未加入其他惩罚项）

如前所述，对于单个样本而言，它的代价函数为E，现在有m个训练样本，它的代价函数应该为所有样本的代价函数的均值，用E_i表示第i个训练样本的代价函数（也就是前文一直使用的代价函数），E表示所有样本的代价函数，则它们有如下关系：

    

则有：

         (18)

如果有偏执项b的话，则有

         (19)

如果有m个样本，前面计算所得得到的和都是矩阵，它们的每一列是每个样本对应的第l层的敏感度和输出值。那么，可以按照如下方式计算m个样本所对应的梯度值：

（1）偏执项为1

         (20)

（2）偏执项为b

         (21)

         (22)

4加了正则化项和稀疏项后

4.1网络误差

加入了正则化项和稀疏项后的网络误差计算公式如下：

         (23)

其中：

J₁、J₂和J₃的计算方法分别如下：

第k个隐藏层中j个神经元的相对熵的计算公式如下：

         (24)

其中：，为第k个隐藏层中j个神经元相对于第i个输入样本的激励值，而为第k个隐藏层中j个神经元相对于所有输入样本激励值的均值。

4.2网络代价函数的偏导数

网络代价函数的偏导数：

其中：

（1）偏执项为1时

         (25)

（2）偏执项为b时

         (26)

4.3敏感度的计算

加入了权值惩罚项和稀疏项后，输出层的敏感度计算不发生变化，而其余各层的敏感度公式变为如下：

         (27)

5计算流程

1. 利用前向传播算法计算各层的激励值

   

2. 计算整个网络的代价函数

   利用式 (23)

   

3. 利用反向传播算法计算各层的敏感度

   

4. 计算代价函数对权值矩阵和偏执项的梯度

   利用式(26)计算代价函数对权值矩阵和偏执项的梯度