O(N)的时间寻找最大的K个数

寻找N个数中最大的K个数，本质上就是寻找最大的K个数中最小的那个，也就是第K大的数。

可以使用二分搜索的策略来寻找N个数中的第K大的数。对于一个给定的数p，可以在O（N）的时间复杂度内找出所有不小于p的数。

寻找第k大的元素：

#include <iostream>
using namespace std;

//快速排序的划分函数
int partition(int a[],int l,int r)
{
    int i,j,x,temp;
    i = l;
    j = r+1;
    x = a[l];
    //将>=x的元素换到左边区域
    //将<=x的元素换到右边区域
    while (1)
    {
        while(a[++i] > x);
        while(a[--j] < x);
        if(i >= j) break;
        temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
    a[l] = a[j];
    a[j] = x;
    return j;
}

//随机划分函数
int random_partition(int a[],int l,int r)
{
    int i = l+rand()%(r-l+1);//生产随机数
    int temp = a[i];
    a[i] = a[l];
    a[l] = temp;
    return partition(a,l,r);//调用划分函数
}

//线性寻找第k大的数
int random_select(int a[],int l,int r,int k)
{
    int i,j;
    if (l == r) //递归结束
    {
        return a[l];
    }
    i = random_partition(a,l,r);//划分
    j = i-l+1;
    if(k == j) //递归结束，找到第K大的数
        return a[i];
    if(k < j)
    {
        return random_select(a,l,i-1,k);//递归调用，在前面部分查找第K大的数
    }
    else
        return random_select(a,i+1,r,k-j);//递归调用，在后面部分查找第K大的数
}

int main()
{
    int a[]={1,2,3,4,6,6,7,8,10,10};

    cout<<random_select(a,0,9,1)<<endl;
    cout<<random_select(a,0,9,5)<<endl;
    return 0;
}

如果所有N个数都是正整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的K个。比如，所有整数都在（0, MAXN）区间中的话，利用一个数组count[MAXN]来记录每个整数出现的个数（count[i]表示整数i在所有整数中出现的个数）。只需要扫描一遍就可以得到count数组。然后，寻找第K大的元素：

for(sumCount = 0, v = MAXN-1; v >= 0; v--)
{
    sumCount += count[v];
    if(sumCount >= K)
        break;
}
return v;

极端情况下，如果N个整数各不相同，我们甚至只需要一个bit来存储这个整数是否存在（bit位为1或为0），这样使用的空间可以大大压缩。

当然也可以使用像计数排序、桶排序等这些以O(N)的时间排序算法也可以寻找第K大的数，但这也是以空间换时间为代价的。

实际情况下，并不一定保证所有元素都是正整数，且取值范围不太大。上面的方法仍然可以推广使用。如果N个数中最大的数Vmax，最小的Vmin，我们可以把这个区间[Vmax,Vmin]分成M块，每个小区间的跨度为d=(Vmax-Vmin)/M，即[Vmin,Vmin+d],[Vmin+d,Vmin+2d]......然后，扫描一遍所有元素，统计各个小区间中的元素个数，就可以知道第K大的元素在哪一个小区间。然后，再在那个小区间中找第K大的数（此时这个小区间中，第K大的数可能就是第T大的数了，这个T和每个小区间的个数有关）。我们需要找一个尽量大的M，但M的取值受到内存的限制。