壳模型相互作用格式分好几种，令人头疼。isospin格式是通用的，但是pn格式各家有不同的约定，主要是质子-中子相互作用的约定不同。NuShellX 使用 upn 格式，BigStick使用 xpn 格式，我的配对近似程序使用的是普通的 pn 格式。过去我一直以为我的 pn 格式就是 xpn 格式，现在发现不是的。。。这也是很无语。还好我的计算都是从 isospin 格式转成 pn 格式，然后转成 jPQ 格式，内部的处理是自洽的。计算 sum rule 的时候也是这样做，所以过去的工作这方面是自洽的。但是问题是，我的求和规则代码 PandasCommute 声称使用的是 xpn 格式，但是实际上使用的是 pn 格式，所以如果有人使用我的代码，就可能会出问题。综合这些情况，这里做一个笔记，列出主要的公式，记下重要的不同。
1. isospin 格式
在 isospin (同位旋)格式中，壳模型哈密顿量写作
[H = sum_a epsilon_a n_a + sum_{abcd} frac{sqrt{(1+delta_{ab})(1+delta_{cd})}}{4}
sum_{I T} V(abcd;IT) sum_{M, M_T} A^dagger_{I M; T M_T}(ab) A_{IM;T M_T}(cd),
]
这里
[A^dagger_{IM;TM_T}(ab) = sum_{m_a m_b au_a au_b} C^{IM}_{j_a m_a, j_b m_b}
C^{T M_T}_{frac{1}{2} au_a, frac{1}{2} au_b}
c^dagger_{j_a m_a; frac{1}{2} au_a} c^dagger_{j_b m_b; frac{1}{2} au_b},\
A_{IM;TM_T}(cd) = sum_{m_c m_d au_c au_d} C^{IM}_{j_c m_c, j_d m_d}
C^{T M_T}_{frac{1}{2} au_c, frac{1}{2} au_d}
c_{j_d m_d; frac{1}{2} au_d} c_{j_c m_c; frac{1}{2} au_c},
]
(C^{IM}_{j_a m_a, j_b m_b}) 是 Clebsch-Gordan 系数, ( au_a, au_b, au_c, au_d) 是同位旋第3分量, 中子是(frac{1}{2})质子是(-frac{1}{2})。
两体相互作用矩阵元有对称性
[V(abcd;IT) = (-1)^{ j_a + j_b + I + T}V(bacd;IT)
= (-1)^{ j_c + j_d + I + T}V(abdc;IT)
= (-1)^{j_a + j_b + j_c + j_d} V(badc;IT), \
V(abcd;IT) = V(cdab;IT).
]
2. pn 格式
在 pn 格式下，哈密顿量写作
[egin{align}
H = & H_0 + H_{pp} + H_{nn} + H_{pn} \
& = sum_{a in pi} epsilon_a n_a + sum_{a in
u} epsilon_a n_a \
& + sum_{abcd in pi} frac{sqrt{(1+delta_{ab})(1+delta_{cd})}}{4}
sum_{I} V_{pp}(abcd;I) sum_{M} A^dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \
& + sum_{abcd in
u} frac{sqrt{(1+delta_{ab})(1+delta_{cd})}}{4}
sum_{I} V_{nn}(abcd;I) sum_{M} A^dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \
& + sum_{acin pi, bd in
u,I} V_{pn}(abcd;I)
sum_{M} A^{dagger}_{IM}(a b)
A_{IM}(cd).
end{align}
]
这里的对产生、对湮灭算符为
[A^dagger_{IM}(ab) = sum_{m_a m_b} C^{IM}_{j_a m_a, j_b m_b}
c^dagger_{j_a m_a} c^dagger_{j_b m_b},~~~~A_{IM}(cd) = sum_{m_c m_d au_c au_d} C^{IM}_{j_c m_c, j_d m_d}
c_{j_d m_d} c_{j_c m_c}.
]
与同位旋有关的CG系数为
[C^{1,1}_{frac{1}{2},frac{1}{2}; frac{1}{2},frac{1}{2}}
= C^{1,-1}_{frac{1}{2}, -frac{1}{2}; frac{1}{2}, -frac{1}{2}} =1,
~~~~~
C^{1,0}_{frac{1}{2},frac{1}{2}; frac{1}{2},-frac{1}{2}}
= C^{1,0}_{frac{1}{2}, -frac{1}{2}; frac{1}{2}, frac{1}{2}} = frac{1}{sqrt{2}},\
C^{0,0}_{frac{1}{2},frac{1}{2}; frac{1}{2},-frac{1}{2}} = frac{1}{sqrt{2}},
hspace{1cm}
C^{0,0}_{frac{1}{2}, -frac{1}{2}; frac{1}{2}, frac{1}{2}} = - frac{1}{sqrt{2}},
]
利用这几个CG系数，我们可以用isospin格式中的(V(abcd;JT))表达上面的(V_{pp},V_{nn},V_{pn})：
[V_{pp}(a_pi b_pi c_pi d_pi;J) = V_{nn}(a_
u b_
u c_
u d_
u) = V(abcd;J,T=1)\
V_{pn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) = frac{ sqrt{ (1+delta_{ab}) (1+delta_{cd}) } }{ 2 }
[V(abcd;I T=1) + V(abcd;I T=0) ].
]
3. upn 格式
NushellX使用：
[V^{upn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) = V(abcd;I T=1) + V(abcd;I T=0) = frac{2}{ sqrt{ (1+delta_{ab}) (1+delta_{cd}) } }V_{pn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I).
]
4. xpn 格式
根据 BigStick 文档中的描述，BigStick 使用的是
[V^{xpn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) = frac{2}{ sqrt{ (1+delta_{ab}) (1+delta_{cd}) } } V^{upn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) = frac{4}{(1+delta_{ab}) (1+delta_{cd})} V_{pn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I).
]
所以有
[V^{xpn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) geq V^{upn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) geq V_{pn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I).
]
据说(V^{xpn})是归一化的矩阵元，可能是(langle a_pi b_
u | V | c_pi d_
u
angle) 计算中的左矢右矢归一化了，我没有去check这个。