这个笔记的思路有点乱糟糟，但是记录了我以前的一些计算。以后估计还会有用，所以先贴在这里。
1 U(2)群二维复矢量空间中的线性变换为
如果保证变换前后矢量的模方不变，即
即
对任意(u,v)都成立.
可以证明，“保证变换前后矢量模方不变”(Leftrightarrow)“变换矩阵(S)是幺正的，即(SS^dagger=1)”。记
然后取如下情况，
1)取 ([u,v] = [1,0] Rightarrow A=1);
2)取 ([u,v] = [0,1] Rightarrow D=1);
3)取 ([u,v] = [2^{-1/2},2^{-1/2}] Rightarrow B+C=0);
4)取 ([u,v] = [2^{-1/2},i2^{-1/2}] Rightarrow B-C=0);
所以必有(SS^dagger = 1)。而(SS^dagger=1)也是充分的，足以保证(|u|^2 + |v|^2=1)在变换前后不变。
这样的(S)构成(U(2))群，因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。以(U)来标记，大概是unitary，即幺正性。
很显然，如果勒令(S)的元素都是实数，则构成子群(O(2))，(O)大概是orthogonal的缩写，即正交性。
要使得(SS^dagger=1)，即
即等价于：(a,c)幺模，(b,d)幺模，(a,c)与(b,d)內积为0，即正交，这里內积定义为
egin{equation}
(a,c) cdot (b,d) = ab^* + cd^*.
end{equation}
所以可以定义(a = cos heta e^{ialpha}, c = sin heta e^{igamma}, b = sin phi e^{idelta}, d = cos phi e^{i (eta - alpha)})，其中( heta,phi)都在([0,pi/2])中取值，辐角这么安排只是为了和Joshi的书保持一致，方便后面的笔记叙述。毕竟只要(alpha, eta, gamma, delta)取值范围是(2pi)长的区间，(a,b,c,d)的相位就具有一般性。
( heta)和(phi)的设置满足了两个幺模性，而(a,c)与(b,d)正交，则是
把左边第二项移到右边，然后两边取模，得到(cos heta sinphi = sin hetacosphi)，考虑到它们的取值范围，则有(phi = heta)，所以上式即
即
所以最终
显然有(|S| = e^{ieta})。
(a,b)受(|a|^2 + |b|^2 = 1)的约束，所以共有三个自由度。
如果(eta = 0)，即(|S| = 1)，则(S)构成SU(2)群。S大概是special，即特殊的幺正群，
考虑二维复矢量([u,v])的函数
egin{equation}
f^m_j = frac{ u^{j+m} v^{j-m} }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} }, ~~~ 2j = 0,1,2,cdots, ~~~ m = -j, -j+1, cdots, j,
end{equation}
因为(u^{j+m}v^{j-m})整体的幂次是(2j)，对([u,v])做了线性变换以后，(u',v')是(u,v)的线性叠加，那么(u'^{j+m} v'^{j-m})仍然是(u,v)的(2j)齐次型，所以(f^m_j)在变换之后，是(f^{m'}_j)的线性叠加。
也就是说，在(u,v)进行线性变换时，(f^m_j)构成一个(2j+1)阶的封闭空间。
那么，以(f^m_j)为基矢，就可以构造线性变换矩阵，与(u,v)的线性变换相对应。
这样的矩阵，就是(U(2))群元的表示，如果是(SU(2))群元，就是(SU(2))的表示。
用(R(a,b))标记这个线性变换，对应(S=[egin{smallmatrix} a & -b^*\ b & a^* end{smallmatrix}])，则有
egin{equation}
R(a,b) f^m_j = frac{ 1 }{ [(j+m)!(j-m)!]^{1/2} } (au + bv)^{j+m} (-b^* u + a^* v)^{j-m},
end{equation}
将上式展开，经过计算整理，得到
其中
(k)使得所有阶乘的宗量不小于0，这样来确定它的求和范围。
注意到，如果((u,v))的模方不变，(f^m_j)作为一个(2j+1)维矢量，它的模方是不变的
所以(D^j_{m' m}(a,b))是一个幺正矩阵表示。
另外（unchecked），用舒尔引理的逆命题可以证明，(D^j_{m'm}(a,b))是一个不可约表示。Joshi还声称它是SU(2)唯一的2j+1维不可约表示，这一点我没有理解。
因为线性变换的“乘法”对应着上文中矩阵(S)的乘法，所以SU(2)群中的共轭群元一定有相同的特征值。
有完全相同特征值的(S)矩阵也一定是相似的，对应共轭群元。
所以，考虑SU(2)群的类，只需按特征值划分。
而矩阵(S)的特征方程为
egin{equation}
lambda^2 - (a + a^*) lambda + 1 =0,
end{equation}
只与(a)的实部有关。
所以，所有(a)的实部相同的SU(2)元素构成一类。
因为(D^j_{m'm}(a,b))是同构的幺正不可约矩阵群，所以类结构也会映射过来，即所有(a)的实部相同的(D^j_{m'm}(a,b))构成一类，相应的特征标为
既然SU(2)线性变换矩阵(S equiv egin{bmatrix} a & -b^* \ b & a^* end{bmatrix})与上面定义的(D)矩阵同构，研究某一个(D)矩阵表示，即可等价地研究SU(2)群。
那么不妨看(D^1)矩阵，即(j=1,m=-1,0,1)三维矩阵，函数基矢(f^m_j)是
相应的(D)矩阵很容易得到
即
(D^1)是一个复数矩阵，但是可以通过幺正变换，变成实数矩阵。定义
则有
这是一个实数矩阵，而且行列式为1，所以实际上是(SO(3))群的一个群元。
这意味着，每一个SU(2)的群元都对应着唯一的一个SO(3)的群元。
不改变3维矢量长度的线性变换构成O(3)群，线性变换矩阵的行列式为 1 而不是 -1 的，则构成SO(3)群。
为何 SO(3) 群就是转动群？
首先，每一个转动变换矩阵一定是SO(3)的群元。
齐次，SO(3)的矩阵都对应着转动变换。
对任意SO(3)中的群元(R)，坐标系按(R)转动时，一个矢量(vec{r} = x vec{e}_x + y vec{e}_y + z vec{e}_z)的坐标变化为
egin{equation}
(x',y',z') = (x,y,z)R,
end{equation}
因为(R R^ op = 1)，所以变换前后矢量长度不变。
任意两个矢量的內积为
egin{equation}
vec{alpha'}^ op vec{eta'} = vec{alpha}^ op R R^ op vec{eta} = vec{alpha}^ op vec{eta}
end{equation}
两个矢量的外积与第三个矢量的点乘，反映了它们之间的手征关系，
egin{equation}
(vec{alpha'} imes vec{eta'}) cdot vec{gamma'}
= alpha_l R_{li} eta_m R_{mj} gamma_n R_{nk} epsilon_{ijk}
= alpha_l eta_m gamma_n epsilon_{lmn} = (vec{alpha} imes vec{eta}) cdot vec{gamma},
end{equation}
上式第二个等号使用了(R)的行列式为1。
有长度、內积、外积不变，即可说明SO(3)的任何一个元素都对应着转动。
因为长度、內积、外积不变，说明刚体上每一个点之间的相对位置都没有变。
以前我用几何的方法证明过，共原点的任意两个右手系，都可以通过唯一一次定轴转动相联系。
用三个欧拉角所标定的三次转动，也可以连接共原点的任意两个右手系。
所以，任意转动变换有两种表述，一个是定轴转动，一个是欧拉角的三次定轴转动。
任意的定轴转动，不妨设转轴为(vec{u})，绕(vec{u})转角(dphi)以后，任意一点(vec{r})的变化量为
注意，这里我使用了“坐标轴转动”的约定，与Joshi一致。
所以，生成元(I)作用在三维空间的任意标量函数(f(vec{r}))上，有
egin{equation}
I f(vec{r}) = limlimits_{dphi
ightarrow 0} frac{1}{i dphi} [ f(vec{r} - dphi vec{u} imes vec{r} ) - f(vec{r}) ]
= i (vec{u} imes vec{r}) cdot vec{
abla} f
= vec{u} cdot (vec{r} imes i vec{
abla} ) f
= -vec{u} cdot vec{L} / hbar f
end{equation}
所以一般地，转动变换可以表示为
egin{equation}
R_{vec{u}}(phi) = e^{iphi I} = e^{-i phi vec{u} cdot vec{L}/hbar}.
end{equation}
从这个角度，也可以理解，在转动变换下，球谐函数(Y_{lm}( heta, phi), m=-l, cdots,l)构成不变子空间，因为(R_{vec{u}}(phi))与(L^2)是对易的。
用欧拉角的表示方法，则是
egin{equation}
R(alpha, eta, gamma) = R_z(gamma) R_y(eta) R_z(alpha)
end{equation}
其中
(R_{vec{u}}(phi))与(R_{vec{e}_z}(phi))是相似的。可以取(vec{u} imes vec{e}_z)，绕它转动使(vec{e}_z)与(vec{u})重合，然后转过(phi)角，再绕(vec{u} imes vec{e}_z)，将(vec{u})转回(vec{e}_z)角，会发现整套操作与(R_{vec{e}_z}(phi))相同。
所以，所有转角相同的定轴转动属于同一个类。
7 SO(3)群的表示用欧拉角标记，
这样构成一个(2l+1)维的不可约表示(D^l_{m',m})。
球谐函数的定义为(参考Arfken&Weber书的约定)
egin{equation}
Y^m_n( heta, phi) = (-1)^m sqrt{ frac{ (2n+1)(n-m)! }{ 4pi (n+m)! } } P^m_n(cos heta) e^{im phi},
end{equation}
所以有
egin{equation}
R_z(alpha) Y^m_l( heta, phi) = e^{-imalpha} Y^m_l( heta, phi),
end{equation}
所以(D^l(R_z(alpha)))的特征标为
egin{equation}
chi^l(alpha) = frac{ sin(l+1/2)alpha }{ sin alpha/2 }.
end{equation}
我们回到第4节构造的SU(2)与SO(3)的联系，如果令(U^dagger D^1 U=R_z(alpha))，经过计算，会发现，这等价于要求(a=pm e^{ialpha/2}, b = 0)；
如果令(U^dagger D^1 U=R_y(eta))，则会发现，这等价于要求(a=pm cos eta/2, b= pm sin eta/2)。
所以，应用于欧拉角标记下的(R(alpha,eta,gamma) = R_z(gamma) R_y(eta) R_z(alpha))，则会得到
所以每个SO(3)的元素对应两个SU(2)的元素（相差一个负号）。
9 SO(3)群的矩阵表示把(a = pm cos eta/2 e^{i(alpha+gamma)/2}, b=pm sin eta/2 e^{i(alpha-gamma)/2})带入第三节(D^j_{m'm})的表达式，可以得到
egin{equation}
D^j_{m' m}(pm cos eta/2 e^{i(alpha+gamma)/2},pm sin eta/2 e^{i(alpha-gamma)/2})
= sum_k (-1)^{m'-m+k} frac{ [(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!]^{1/2} }{ (j+m-k)!k!(j-m'-k)!(m'-m+k)! }
e^{imalpha} e^{im'gamma}
(pm cos frac{eta}{2})^{2j+m-m'-2k} (pm sin frac{eta}{2})^{m'-m+2k}.
end{equation}
可以看出来，(j)是整数时，(pm)符号对最终结果没有影响，是一个单值表示，而(j)是半整数时，(D^j_{m'm})也有(pm)符号，是所谓双值表示。