核结构中的投影技术

1. 回顾：角动量投影

之前写过一篇随笔，整理了角动量投影技术的推导：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14586631.html
投影算符定义为

[hat{P}^J_{LK} | Phi angle = frac{ 2 J + 1 }{ 8 pi^2 } int D^{J *}_{ L K } ( Omega ) hat{R}(Omega) | Phi angle d Omega = c_{JK} | J, K ightarrow L angle. ]

本质上就是通过转动算符、D函数的正交性挑出一个组态中具有特定角动量的成分，然后用这些具有好 (J) 的组分构造基矢，进行近似对角化，解 Hill-Wheeler 方程得到能谱。

2. 两种方式

定义

[H^J_{K'K} = langle Phi | hat{H} | hat{P}^J_{K'K} Phi angle, ~~~~ N^J_{K'K} = langle Phi | hat{P}^J_{K'K} Phi angle, ]

则 Hill-Wheeler 方程为

[forall K', sum_K H^J_{K'K} g^r_{JK} = epsilon_{r,J} sum_K N^J_{K'K} g^r_{JK}. ]

下面仅以 (langle Psi | hat{R}(Omega) | Psi angle sim N^J_{KM}) 为例，说明两种做法，(langle Psi | hat{H} hat{R}(Omega) | Psi angle sim H^J_{KM}) 是同理。

2.1 积分做法 (Quadrature)

投影算符中的积分会取离散节点来实现，所以相当于

[sum_i langle Psi | hat{R}(Omega_i) | Psi angle omega_i D^J_{KM}(Omega_i) = N^J_{KM}, ag{1} ]

其中 (omega_i) 是与积分相关的权重，在上式中，左侧 (langle Psi | hat{R}(Omega_i) | Psi angle omega_i)仅与 (i) 有关，(D^J_{KM}(Omega_i))既与 (i) 有关，也与 ((J,K,M)) 有关，而右侧与 (i) 无关，所以上面实则是一个行、列标记为 $ (J,K,M) imes i $ 的矩阵乘以标记为 (i) 的列矢量，得到一个下标为 ((J,K,M)) 的列矢量。

[A_{(JKM), i} vec{x}_i = vec{y}_{(JKM)}, ]

已知 (A, vec{x})，求取 (vec{y})。

2.2 线性代数做法 (LAP: Linear Algebra Projection)

见参考文献：
[1] Calvin W. Johnson and Keven D. O'Mara, "Projection of angular momentum via linear algebra", Physical Review C 96, 064304 (2017).
[2] Calvin W. Johnson and Changfeng Jiao "Convergence and efficiency of angular momentum projection", Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics 46, 015101 (2019).
最基本的逻辑很简单。假设

[| Psi angle = sum_{JM} c_{JM} | J M angle, ]

则有

[hat{R}(Omega) | Psi angle = sum_{JMK} c_{JM} D^J_{KM}(Omega) | J M ightarrow K angle. ]

所以有

[langle Psi | hat{R}(Omega) | Psi angle = sum_{JKM} c^*_{JK} c_{JM} D^J_{KM}(Omega) langle JK | J M ightarrow K angle = sum_{JKM} D^J_{KM}(Omega) N^J_{KM}. ag{2} ]

将 (Omega) 取一系列离散点 (Omega_i)，得到

[langle Psi | hat{R}(Omega_i) | Psi angle = sum_{JKM} D^J_{KM}(Omega_i) N^J_{KM}. ]

则上式是一个线性方程组求解的问题

[vec{x}_i = B_{i, (JKM)} vec{y}_{(JKM)}. ]

根据参考文献 [2]，线性代数方法在 PHF 中只需(10^3 sim 10^4)个欧拉角即可收敛，而积分方法需要 (10^4 sim 10^5) 个欧拉角。

2.3 为何 LAP 要优于 Quadrature

这是因为，公式 (1) 是一个近似公式，近似程度取决于 quadrature 的好坏，即欧拉角取点多少。原则上点数无穷，才会严格相等。
而公式（2）是一个严格公式，LAP 在这个严格公式的基础上，扔掉了一些较高的 J 而已，因为那些很高的 J 组分在 (Psi) 中的比重 (f_J approx 0)。
这就是这两种近似的区别，因为 (f_J approx 0) 这个具体的情况，LAP 是更好的近似，因此具有更好的收敛性能。