投影模型中的单体跃迁

1. 投影框架下的本征态

如果变分得到的能量最低波函数为 (|PC angle)，这里 PC 是 pair condensate 的缩写，表示我们最近做的对凝聚组态，但下面的讨论并不局限于这一种组态。
如果要得到角动量为 ((J,M)) 的近似本征态，我们先从 (|PC angle) 中投影出来 (2J+1) 个角动量为 ((J,M)) 的基矢：

[hat{P}^J_{MK} | PC angle, K = -J, -J+1, cdots, J. ]

然后假定近似波函数为这些基矢的线性展开，

[psi^r_{JM} = sum_K g^r_{JK} hat{P}^J_{MK} | PC angle. ]

那么，要求解 (g^r_{JK})，需要构造 Hill-Wheeler 方程。

[H^J_{K'K} = langle Phi | hat{H} hat{P}^J_{K'K} | Phi angle, ~~~~ N^J_{K'K} = langle Phi | hat{P}^J_{K'K} | Phi angle, ]

Hill-Wheeler 方程为

[forall K', sum_K H^J_{K'K} g^r_{JK} = epsilon_{r,J} sum_K N^J_{K'K} g^r_{JK}. ]

得到 (g^r_{JK})，即得近似本征波函数 (psi^r_{JM})。

2. 投影框架下的单体跃迁

不妨把单体跃迁算符记作：

[hat{Q}^s_sigma = hat{Q}^{pi s}_sigma + hat{Q}^{ u s}_sigma, ]

2.1 投影基矢上的约化矩阵元

这个单体算符在投影基矢上的约化矩阵元为 (langle (hat{P}^{J'}_{*K'} PC) || Q^s || hat{P}^J_{* K} PC angle)，则有

[langle PC | (hat{P}^{J'}_{M'K'})^dagger Q^s_sigma hat{P}^J_{MK} | PC angle = (JMssigma|J'M') langle (hat{P}^{J'}_{*K'} PC) || Q^s || hat{P}^J_{* K} PC angle. ]

另外，由于 ((hat{P}^{J'}_{M' K'})^dagger = hat{P}^{J'}_{K' M'})，它的作用是将右侧 ((J',M')) 张量挑出来并且旋转为 ((J',K'))，所以有

[langle PC | (hat{P}^{J'}_{M'K'})^dagger Q^s_sigma hat{P}^J_{MK} | PC angle = langle PC | (hat{P}^{J'}_{M'K'})^dagger sum_{J'' M''} (s sigma J M | J'' M'')(Q^s hat{P}^J_{*K}|PC angle)^{J''}_{M''}, = (s sigma J M | J' M' ) langle PC | (Q^s hat{P}^J_{*K} )^{J'}_{K'} | PC angle. ]

对照上面两式，得到

[langle (hat{P}^{J'}_{*K'} PC) || Q^s || hat{P}^J_{* K} PC angle = (-1)^{s + J - J'} langle PC | (Q^s hat{P}^J_{*K} )^{J'}_{K'} | PC angle = sum_{sigma M} C^{J' K'}_{J M s sigma} langle PC | Q^s_sigma hat{P}^J_{MK} | PC angle. ]

2.2 投影波函数上的约化矩阵元

在上文的约定之下，假设初态波函数为

[psi^r_{JM} = sum_k g^r_{JK} hat{P}^J_{MK} | PC angle, ]

末态波函数为

[psi^{r'}_{J'M'} = sum_{K'} g^{r'}_{J'K'} hat{P}^{J'}_{M'K'} |PC angle, ]

那么，初末态之间，(hat{Q}^s) 的约化矩阵元为

[langle psi^{r'}_{J'} || hat{Q}^s || psi^r_J angle = sum_{KK'} g^r_{JK} g^{r'}_{J'K'} langle (hat{P}^{J'}_{* K'} PC ) || hat{Q}^s || ( hat{P}^J_{* K} PC ) angle = sum_{KK'} g^r_{JK} g^{r'}_{J'K'} sum_{sigma M} C^{J' K'}_{J M s sigma} langle PC | Q^s_sigma hat{P}^J_{MK} | PC angle. ]

2.3 约化跃迁概率

两个投影本征态之间的约化跃迁概率为

[B(F：J_r ightarrow J'_{r'} ) = frac{2J' +1}{2J +1} | langle psi^{r'}_{J'} || hat{Q}^s || psi^r_J angle |^2 = frac{2J' +1}{2J+1} left| sum_{KK'} g^r_{JK} g^{r'}_{J'K'} langle (hat{P}^{J'}_{* K'} PC ) || hat{Q}^s || ( hat{P}^J_{* K} PC ) angle ight|^2 \ = frac{2J' +1}{2J+1} left|sum_{KK'} g^r_{JK} g^{r'}_{J'K'} sum_{sigma M} C^{J' K'}_{J M s sigma} langle PC | Q^s_sigma hat{P}^J_{MK} | PC angle ight|^2 \ = frac{2J' +1}{2J+1} left| sum_{K K' sigma } g^r_{JK} g^{r'}_{J'K'} C^{J', K'}_{J K'-sigma ; ssigma} langle PC | Q^s_sigma hat{P}^J_{K'-sigma, K} | PC angle ight|^2. ]