核结构单体跃迁算符

这都是教科书上都有的内容，我只是整理整理，把一些约定也统一一下，方便以后写代码的时候参照。

1. 约定

1.1 约化矩阵约定

[langle J'M' | s sigma | J M angle = langle J' || s || J angle (JM,s sigma| J' M'). ]

1.2 时间反演算符约定

[ ilde{b}_eta = (-1)^{ b + eta } b_{-eta}. ]

2. 单体算符的二次量子化

[Q_{ssigma} = sum^N_{i=1} q(vec{r}_i) = sum_{alpha, eta} langle alpha | q | eta angle alpha^dagger eta. = sum_{a, b} langle a || q || b angle frac{ [ j_a ] }{ [t] } ( a^dagger otimes ilde{b} )_{s sigma} equiv sum_{a,b} q_{ab} ( a^dagger otimes ilde{b} )_{s sigma}. ]

证明在下面。为了叙述方便，我用了爱因斯坦求和约定，

[Q_{ssigma} = langle a alpha | q_{s sigma} | b eta angle a^dagger_alpha b_eta = langle a || q || b angle ( b eta; s sigma | a alpha ) a^dagger_alpha b_eta \ = langle a || q || b angle (-1)^{ b - eta} [a] [s]^{-1} (b eta; a -alpha | s -sigma) a^dagger_alpha b_eta = langle a || q || b angle [a] [s]^{-1} ( a^dagger otimes ilde{b} )_{s sigma}. ]

另外可以推出约化矩阵元的关系：

[(-1)^{b+sigma-a}langle a || q || b angle [a] = langle b || q^dagger || a angle ^* [b]. ]

如果带角动量的厄米算符有（纯属猜测！）(q^dagger_{ssigma} = (-1)^sigma q_{s -sigma})，以及实数的约化矩阵元，则有 (q_{ab} = (-1)^{1+a+b} q_{ba})。相应地会有 (Q^dagger_{s, sigma } = (-1)^sigma Q_{s, -sigma})。
如果带角动量的反厄米算符（纯属猜测！）有 (q^dagger_{ssigma} = - (-1)^sigma q_{s -sigma})，则有 (q_{ab} = (-1)^{a+b} q_{ba})。相应地会有 (Q^dagger_{s, sigma } = - (-1)^sigma Q_{s, -sigma})。

3. E2 跃迁的约化矩阵元

3.1 (langle alpha || Y_lambda || eta angle)

根据 Lawson 的书 P435(电子版445页)，(A2.23)式，

[langle alpha || Y_lambda || eta angle = (-1)^{l_eta + l_alpha + j_eta - j_alpha} sqrt{ frac{ (2lambda+1)(2j_eta+1) }{ 4pi (2j_alpha+1) } } ( j_eta frac{1}{2}; lambda 0 | j_alpha frac{1}{2} ) frac{ 1 + (-1)^{l_alpha + l_eta + lambda} }{2} int R_alpha R_eta r^2 dr. ]

这个推导过程有点巧妙，利用了(P_n(1)=1, Y^m_l( heta = 0, phi ) = delta_{m0} sqrt{frac{ 2l+1 }{4} })。

3.2 (int R_{n' l'}(alpha r) R_{nl }(alpha r) r^{lambda+2} dr)

根据Lawson的书(1.11a)，稍作调整（使用(Gamma)函数），得到 (l+l'+lambda) 为偶数时（为奇数时宇称不守恒，暂时不用考虑），

[int R_{n_1 l_1 }(alpha r) R_{n_2 l_2}(alpha r) r^{lambda+2} dr = (-1)^{n_1 + n_2}sqrt{ frac{ n_1! n_2! }{ Gamma( n_1 + l_1 + frac{3}{2} ) Gamma( n_2 + l_2 + frac{3}{2} ) } } Gamma( (l_1 - l_2 + lambda)/2 + 1 ) Gamma( (l_2 - l_1 + lambda)/2 +1 ) sum_k frac{ Gamma( k+(l_1+l_2+lambda)/2 + frac{3}{2} ) }{ k! (n_1-k)! (n_2-k)! Gamma( k+1-n_2 + frac{l_1-l_2+lambda}{2} ) Gamma( k+1-n_1 + frac{l_2-l_1+lambda}{2} ) } frac{1}{alpha^lambda}, ]

其中，(alpha equiv sqrt{ frac{momega}{hbar}} = frac{1}{b_0}) 量纲为长度的负一次幂，(b_0)为谐振子长度，取　(hbar c = 197 MeV fm), (mc^2=938MeV)，

[b^2_0 = frac{ (hbar c)^2 }{ (mc^2)(hbar omega) } = frac{ 41.4 MeV fm^2 }{ hbar omega }, ]

另外，对于原子核一般取 (hbar omega = 41 / A^{1/3}) MeV，所以有

[b_0 approx A^{1/6} fm. ]

3.3 电多极跃迁算符

E(lambda) 跃迁的跃迁算符是(r^lambda Y_lambda)，

[Q_{lambdamu} = r^lambda Y_{lambdamu} = sum_{alpha eta } q(alpha eta) ( alpha^dagger otimes ilde{b} )_{lambda mu}, \ q(alpha eta) = frac{[j_alpha]}{ [lambda] } (-1)^{l_eta + l_alpha + j_eta - j_alpha} sqrt{ frac{ (2lambda+1)(2j_eta+1) }{ 4pi (2j_alpha+1) } } ( j_eta frac{1}{2}; lambda 0 | j_alpha frac{1}{2} ) frac{ 1 + (-1)^{l_alpha + l_eta + lambda} }{2} int R_alpha R_eta r^{lambda+2} dr\ = (-1)^{l_eta + l_alpha + j_eta - j_alpha} sqrt{ frac{ (2j_eta+1) }{ 4pi } } ( j_eta frac{1}{2}; lambda 0 | j_alpha frac{1}{2} ) frac{ 1 + (-1)^{l_alpha + l_eta + lambda} }{2} int R_alpha R_eta r^{lambda+2} dr. ]

例如，sd 壳 E2 跃迁的 (q(alpha eta)) 如下，轨道顺序为 (d_{3/2}, d_{5/2}, s_{1/2})。

-0.883096  0.578122  0.797885
-0.578122  -1.15624  -0.977205
-0.797885  -0.977205  0

如果使用有效电荷，如　(e_p = 1.5 e, e_n = 0.5e)，则将上述矩阵元乘上(1.5, 0.5)即可。

3.4 约化跃迁概率

约化跃迁概率(reduced transition probability)就是所谓 (B) value，按照本文使用的约定，

[B(E2, i ightarrow f) = frac{2J_f+1}{2J_i+1} | langle f || Q_lambda || i angle |^2. ]

3.4 单位

使用上面的公式，得到的 B value 的单位是 (e^2 b^{2lambda}_0 = A^{lambda/3} e^2 fm^{2lambda})。另一种常用的单位是 Weisskopf 的单位，这个单位是以单粒子跃迁的 B value 为参照：

[B_W(Elambda) = frac{1}{4pi} [frac{3}{3+lambda}]^2 (1.2 A^{1/3})^{2lambda} e^2 fm^{2lambda}, \ B_W(Mlambda) = frac{10}{pi} [frac{3}{3+lambda}]^2 (1.2 A^{1/3})^{2lambda-2} mu^2_N fm^{2lambda-2}. ]

对于 E1, E2 和 M1，则为

[B_W(E1) = 0.0645 A^{2/3} e^2 fm^2, \ B_W(E2) = 0.0594 A^{4/3} e^2 fm^4, \ B_W(M1) = 1.790 mu^2_N. ]

所以用上面的公式计算得到的 B(E2) 的单位也是 (1/(0.0594A^{2/3}) W.u.)。