鼓面振动就是一种圆膜振动。知了的发声也是靠腹部的薄膜振动。
1. 圆膜振动的解析结果
圆膜振动的数学物理方程、及其求解如下。
2. 圆膜振动的可视化
已知上面的解，可以用计算机编程，把不同模式的圆膜振动画成动图，甚至还可以带上声音。
对于给定的(n,i)，已经确定一个振动模式，
[u_{ni} (r, heta,t) = J_n( k^n_i r) [ E_{ni} cos( k^n_i a t + phi_{ni} ) cos( n heta ) + F_{ni} cos( k^n_i at + varphi_{ni} ) sin( n heta ) ]
]
可以更简单一点，只讨论
[u_{ni} (r, heta,t) = J_n( k^n_i r) cos( k^n_i a t + phi_{ni} ) cos( n heta )，
]
显而易见，(J_n( k^n_i r) cos( n heta )) 决定了圆膜上各点的振幅，各点做简谐振动，谐振频率仅与 (n,i) 有关，
[f = frac{
u_{ni} }{ 2 pi }.
]
然后写个循环画若干桢，变成动图，就可以比较形象地看到不同模式的鼓面振动了。