这是以前写的笔记，散在不同的地方，现在收集在这个随笔里，供以后自己和合作者翻阅。写了这个笔记以后，我还会在相应代码里加上注释，因为没有人能记住大串公式的每一个细节，所以只能把笔记、博客用作外部的记忆存储器。
1. 壳模型相互作用: pn格式
在 pn 格式下，单体 + 2 体相互作用写作
[egin{align}
H = & H_0 + H_{pp} + H_{nn} + H_{pn} \
& = sum_{a in pi} epsilon_a n_a + sum_{a in
u} epsilon_a n_a \
& + sum_{abcd in pi} frac{sqrt{(1+delta_{ab})(1+delta_{cd})}}{4}
sum_{I} V_{pp}(abcd;I) sum_{M} A^dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \
& + sum_{abcd in
u} frac{sqrt{(1+delta_{ab})(1+delta_{cd})}}{4}
sum_{I} V_{nn}(abcd;I) sum_{M} A^dagger_{I M}(ab) A_{IM}(cd) \
& + sum_{acin pi, bd in
u,I} V_{pn}(abcd;I)
sum_{M} A^{dagger}_{IM}(a b)
A_{IM}(cd).
end{align}
]
其中
[hat{A}^dagger_{JM}(ab) = sum_{m_a m_b} (j_a m_a j_b m_b | JM)
hat{c}^dagger_{j_a m_a} hat{c}^dagger_{j_b m_b},
onumber\
hat{A}_{JM}(cd) = sum_{m_c m_d} (j_c m_c j_d m_d | JM)
hat{c}_{j_d m_d} hat{c}_{j_c m_c},
]
是对产生、对湮灭算符。之前的笔记中（ https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14641721.html ）已经记了 isospin 格式的相互作用如何转化过来：
[V_{pp}(a_pi b_pi c_pi d_pi;J) = V_{nn}(a_
u b_
u c_
u d_
u) = V(abcd;J,T=1)\
V_{pn}(a_pi b_
u c_pi d_
u;I) = frac{ sqrt{ (1+delta_{ab}) (1+delta_{cd}) } }{ 2 }
[V(abcd;I T=1) + V(abcd;I T=0) ].
]
2. pn格式转化为P+Q格式
单体是不用变的，质子-质子相互作用可以写作
[H_{pp} = sum_{aleq b,cleq d } sum_{JM} V(abcd;J1) A^{int1 dagger}_{JM}(ab) A^{int2}_{JM}(cd).
]
其中
[A^{int1 dagger}_{JM}(ab) = frac{1}{sqrt{1+delta_{ab}}} left{ 0.5 (a^dagger otimes b^dagger)_{JM} + (-1)^{1+a+b-J} 0.5 (b^dagger otimes a^dagger)_{JM}
ight}, \
A^{int2 }_{JM}(cd) = frac{1}{sqrt{1+delta_{ab}}} left{ 0.5 (c^dagger otimes d^dagger)_{JM} + (-1)^{1+c+d-J} 0.5 (d^dagger otimes c^dagger)_{JM}
ight},
]
为了节省计算量，可以定义
[A^{ab,int2}_{JM} = sum_{c leq d} V(abcd;J1) A^{int2}_{JM} (cd),
]
即得
[H_{pp} = sum_{aleq b} sum_{JM} A^{int1 dagger}_{JM}(ab) A^{ab,int2}_{JM}.
]
注意，壳模型相互作用文件中，一般利用了(V(abcd;JT) = V(cdab;JT))项，省略了对称的项，但上面的公式既要考虑(V(abcd;JT))项，也要考虑(V(cdab;JT))项。
中子－中子相互也可以用上面的公式，只需将质子轨道改为中子轨道。
质子-中子相互作用为，
[H_{pn} = sum_{acin pi; bdin
u} sum_{JM} V^{pn}(abcd;J) hat{A}^dagger_{JM}(ab) hat{A}_{JM}(cd).
]
根据4个角动量的重耦合规则，可以得到
[sum_M hat{A}^{dagger}_{JM}(a_pi b_
u) hat{A}_{JM}(c_pi d_
u)
= sum_L (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
left{
egin{aligned}
j_a ~~ j_b ~~ J\
j_d ~~ j_c ~~ L
end{aligned}
ight}
\
imes sum_M (-1)^M Q_{LM}(a_pi c_pi) Q_{L,-M}(b_
u d_
u),
]
其中 (Q_L(a_pi c_pi)=(hat{c}^dagger_{a_pi} otimes ilde{c}_{c_pi})_L),(Q_L(b_
u d_
u)=(hat{c}^dagger_{b_
u} otimes ilde{c}_{d_
u})_L).
所以质子-中子相互作用可写作
[ H_{pn} = sum_{abcd J L}
V^{pn}(abcd;J) (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
left{
egin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\
j_d ~ j_c ~ L
end{aligned}
ight}
\
imes sum_M (-1)^M Q_{LM}(a_pi c_pi) Q_{L,-M}(b_
u d_
u),
]
易证(Q_{L,-M}(bd) = (-1)^{1+b+d+M} Q^dagger_{LM}(db))，所以上式变为
[ H_{pn} = sum_{abcd J L}
V^{pn}(abcd;J) (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
left{
egin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\
j_d ~ j_c ~ L
end{aligned}
ight}
\
imes sum_M Q_{LM}(a_pi c_pi) ((-1)^{1+b+d}Q_{L,M}(d_
u b_
u))^dagger,
]
我们可以定义
[kappa(a_pi c_pi, b_
u d_
u; L) = sum_{J}
V_{pn}(abcd;J) (-1)^{j_b + j_c + J } (2J+1)
left{
egin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\
j_d ~ j_c ~ L
end{aligned}
ight}
]
则质子-中子相互作用为
[H_{pn} = sum_{abcd;LM} kappa(a_pi c_pi, b_
u d_
u; L) Q_{LM}(a_pi c_pi) ((-1)^{1+b+d}Q_{L,M}(d_
u b_
u))^dagger.
]
为了减少计算量，可以进一步变形，令
[Q^{ac}_{L} = sum_{bd} { sum_{J}
V_{pn}(abcd;J) (-1)^{j_c + j_d + J } (2J+1)
left{
egin{aligned}
j_a ~ j_b ~ J\
j_d ~ j_c ~ L
end{aligned}
ight} } (d^dagger_
u otimes ilde{b}_
u )_{L}.
]
则有
[H_{pn} = sum_{acLM} (a^dagger_pi otimes ilde{c}_pi)_{L,M} (Q^{ac}_{L,M})^dagger.
]
以 pf 壳为例，有效相互作用有 94 项 (T=1) 相互作用，101 项 (T=0) 相互作用，转化为 (P+Q) 形式以后，有 30 项质子/中子 (AA) 相互作用，60 项 (Q_p Q_n) 相互作用。
3. (M)-scheme 的 P+Q 相互作用
在 (M)-scheme 下的表达式上面基本已经写出来了，只是我的代码里是这么用的：
[H^m_{pn} = sum_{acLM} (a^dagger_pi otimes ilde{c}_pi)_{L,M} {mathcal Q}^{ac}_{L,-M},
]
这里 ({mathcal Q}^{ac}_{L,-M} equiv + (Q^{ac}_{L,M})^dagger).
在 PVPC 代码中，(J)-scheme 的 P+Q 相互作用（常用 PQint 类型的变量 jPQ 表示）储存的是 (Q^{ac}_L)，而 (M)-scheme 的 P+Q 相互作用（常用 PQint 类型的变量 mPQ 表示）中储存的是 ({mathcal Q}^{ac}_{L,-M} equiv + (Q^{ac}_{L,M})^dagger).