正规算子的谱

参考书：F. R. Gantmacher 《The Theory of Matrices》Vol. 1

1. 伴随算子(adjoint operator)

我把伴随算子记作 (A^dagger)，因为它对应着量子力学书里的厄米算子：

[(A vec{x}, vec{y} ) = ( vec{x}, A^dagger vec{y}), ]

显然，(A) 的伴随算子的矩阵表示，就是矩阵 (A) 的幺正矩阵 (A^dagger)。

1.1 如果线性空间 (S) 是 (A) 的不变子空间，那么 (S) 的补空间 (T) 一定是 (A^dagger) 的不变子空间。

(forall vec{x} in S, vec{y} in T)，都有 (A vec{x} in S)，即

[( vec{y}, A vec{x} ) = 0, ]

而

[(vec{y}, Avec{x}) = ( A^dagger vec{y}, vec{x} ) =0, ]

即 (A^dagger vec{y} otin S)，即 (A^dagger vec{y} in T)，即 (T) 为 (A^dagger) 的不变子空间。

2. 正规算子(normal operator)

正规算子即满足 (A A^dagger = A^dagger A) 的算子 (A)，显然，厄米算符、幺正算符都是正规算子。

2.1 对易的算子一定有共同本征矢

任意两个对易的算子都一定有共同的本征矢。教材思路是通过不变子空间来论证。
若 (AB = BA)，且 (Avec{x} = lambda vec{x})，则有

[AB^k vec{x} = B^kAvec{x}. ]

所以一定存在 (A) 的不变子空间 ({ vec{x}, Bvec{x}, cdots, B^{p-1} vec{x} })，(B^{p}vec{x})是这些矢量的线性表达。
显然这个不变子空间也是 (B) 的不变子空间，所以（？）其中一定存在 (B) 的特征矢量 (vec{y})，它也是 (A) 的特征矢量，

[A vec{y} = lambda vec{y}. ]

2.2 正规算子 (A) 一定与 (A^dagger) 有共同的本征矢，且相应的本征值互为复共轭。

• 因为 (A) 与 (A^dagger) 对易，所以它们一定有共同本征矢，设为 (vec{x})，设有 (Avec{x} = lambda vec{x}, A^dagger vec{x} = mu vec{x})，则有((vec{x}, Avec{x}) = lambda = (A^dagger vec{x}, vec{x}) = (vec{x}, A^dagger vec{x})^* = mu^*)。
• 用这个共同本征矢如上述构造不变子空间(S = { vec{x}, Avec{x}, cdots })，它是 (A, A^dagger) 的共同不变子空间，根据1.1的论证，(S) 的补集 (T) 也同时是 (A, A^dagger) 的不变子空间，因为是不变子空间，所以一定存在 (A) 的一个特征矢量，如2.1论证，拿着这个向量构造 (A,A^dagger) 在 (T) 中的不变子空间，又可以得到 (A,A^dagger) 的共同本征矢。
• 如此迭代，一定可以穷尽这个线性空间，得到 (A, A^dagger) 的共同的正交归一本征矢，本征值互为复共轭。

2.3 正规算子的不同本征值对应的本征向量一定互相正交

假如有 (Avec{x} = lambda vec{x}, Avec{y} = mu vec{y}, lambda eq mu)，则有

[(vec{y}, Avec{x}) = lambda (vec{y}, vec{x}) = (A^dagger vec{y}, vec{x}) = mu (vec{y}, vec{x}), ]

所以有 ((mu - lambda)(vec{y}, vec{x}) = 0)，即 ((vec{y}, vec{x]}) = 0)，得证。

2.4 如果一个算子(A)有完整的特征向量，则一定是正规算子

若 (Avec{x}_k = lambda_k vec{x}_k, (vec{x}_i, vec{x}_k) = delta_{ik})，假设

[vec{y}_l = A^dagger vec{x}_l - ar{lambda}_l vec{x}_l, ]

则

[forall k, (vec{y}_l, vec{x}_k) = (vec{x}_l, A vec{x}_k) - lambda_l (vec{x}_l, vec{x}_k) = (lambda_k - lambda_l)delta_{kl} = 0. ]

因为 (vec{x}_k) 穷尽整个线性空间，所以可以断定 (vec{y}_l = 0, A^dagger vec{x}_l = ar{lambda}_l vec{x}_l)。
那么，对线性空间中的任意矢量 (vec{p} = sum_k c_k vec{x}_k), 有

[A A^dagger vec{p} = sum_k c_k | lambda_k |^2 vec{x}_k = A^dagger A vec{p}, ]

所以 (AA^dagger = A^dagger A)，(A) 是正规算子。

话说，存在没有完整特征向量的算子吗？

3. 欧几里得空间中的线性算子

• 在欧几里得空间(R)中，可以定义转置算子(A^ op), s.t. (forall vec{x}, vec{y}, (Avec{x}, vec{y} ) = (vec{x}, A^ op vec{y}))。
• 然后，在此基础上定义正规算子：(A A^ op = A^ op A)。
• 对称算子： (A^ op = A)；反对称算子：(A^ op = -A)。
• 还可以定义正交算子：(Q^ op Q = E)。
• 显然，对称、反对称、正交算子都是正规算子

3.1 欧几里得空间中的线性算子在复数矢量空间中的谱

问题：复数矢量空间 (vec{z} = vec{x} + vec{y}) 的维数也是 (n) 吗？（未回答）

实数矩阵的特征方程 (P_n(lambda)=0) 系数都是实数，若存在 (lambda_k) 使得 (P_n(lambda_k) = 0)，则必有 (ar{P}_n(lambda_k) = P_n(ar{lambda_n}) = 0)，所以实数矩阵的特征值一定要么是实数，要么是成对出现的互为共轭的复数：

[{ cdots, mu_k + i u_k, mu - i u_k, cdots, mu_l, cdots },~~ k = 1,2,cdots,q;~~ l=2q+1,cdots, n ]

若 (A vec{z} = lambda vec{z})，则 (A vec{ar{z}} = ar{lambda} vec{ ar{z}})，所以特征值也是复共轭成对出现。

[vec{z}_{2k-1} = vec{x}_k + i vec{y}_k, ~~ Avec{z}_{2k-1} = (mu_k + i u_k) vec{z}_{2k-1}; \ vec{z}_{2k} = vec{x}_k - i vec{y}_k, ~~ Avec{z}_{2k} = (mu_k - i u_k) vec{z}_{2k}. ]

推得

[A vec{x}_k = mu_k vec{x}_k - u_k vec{y}_k, ~~ Avec{y}_k = u_k vec{x}_k + mu_k vec{y}_k, ~~ k = 1,2,cdots,q ]

如果定义矢量内积为

[(vec{z}, vec{w}) = overline{vec{z}} cdot vec{w} = (vec{x} - i vec{y}) cdot ( vec{u} + i vec{v} ) = (vec{x}cdotvec{u} + vec{y}cdot vec{v}) +i ( vec{x}cdot vec{v} - vec{y} cdot vec{u} ). ]

GantMacher 定义的是 ((vec{z}, vec{w}) = vec{z} cdot overline{ vec{w} })，但这个差别不应该影响任何重要结论，我写上面的约定是因为习惯了这种内积定义式。

3.2 欧几里得空间中的正规算子

(R) 空间中的正规算子 (A) 有 (A^ op A = A A^ op)，类似于 #2 中的论证可以得到，正规算子 (A) 与 (A^ op) 有共同的本征矢，互为共轭的本征值。根据 2.3 中的推断，({ vec{z}_1, vec{z}_2, cdots, vec{z}_{2q-1}, vec{z}_{2q}, vec{x}_{2q+1}, cdots, vec{x}_{n} }) 两两正交，所以归一化以后是一个正交归一基。
(vec{z}_{2k-1}, vec{z}_{2k})正交，即

[(vec{z}_{2k-1}, vec{z}_{2k}) = vec{x}_k cdot vec{x}_k - vec{y}_k cdot vec{y}_k - i ( vec{y}_k cdot vec{x}_k + vec{x}_k cdot vec{y}_k ) = 0, ]

得到结论：(vec{x}_k, vec{y}_k) 正交归一。
所以，({ vec{x}_1, vec{y}_1, cdots, vec{x}_{q}, vec{y}_{q}, vec{x}_{2q+1}, vec{x}_{2q+2}, cdots, vec{x}_{n} })也是正交归一基。用这些正交归一基构造矩阵

[Q = [ vec{x}_1, vec{y}_1, cdots, vec{x}_{q}, vec{y}_{q}, vec{x}_{2q+1}, vec{x}_{2q+2}, cdots, vec{x}_{n} ], ]

则有

[Q^ op A Q = { [egin{smallmatrix} mu_1 & u_1 \ - u_1 & mu_1 end{smallmatrix}], ..., [egin{smallmatrix} mu_q & u_q \ - u_q & mu_q end{smallmatrix}], mu_{2q+1}, cdots, mu_n }, ]

这叫做正则形式(canonical form)。

3.3 对称算子、反对称算子

欧几里得空间 (R) 中的对称算子在拓展的 ( ilde{R} = vec{x} + i vec{y}) 中是厄米算子，所以所有本征值都是实数，( u_k = 0)，所以能通过正交变换得到对角阵。
欧几里得空间 (R) 中的反对称算子乘以 (i) 以后是对称算子，在拓展的 ( ilde{R} = vec{x} + i vec{y}) 中是厄米算子，所以所有本征值都是实数，所以反对称算子的所有本征值都是纯虚数，(mu_k = 0)，所以能通过正交变换得到正则反对称阵。
后面有一段特别漂亮，是利用这些代数结论，说明欧拉-达朗贝尔定理：三维空间中任何一个定点有限转动都是绕某个轴的一个定轴转动。但是我懒得打了，下次有兴趣再来整理。

根据上面这些关于欧几里得空间正规算子的讨论，结合前面关于对易算子、正规算子的谱的讨论，可以得到一个相当清晰的结论：在欧几里得空间中，若有一些（任意多，毕竟线性无关的维数 (leq n^2)）正规算子两两对易，则它们都有共同的正交归一实数本征矢，在这些矢量构成的正交变换下，全部变换为正则形式。