1. 宇称投影算符
宇称投影算符(hat{P})作用在任意函数(f(x))得到
[hat{P} f(x) = f(-x),
]
三维空间中则为
[hat{P} f(vec{r}) = f(-vec{r}).
]
如果有 (hat{P} f(vec{r}) = f(-vec{r}) = pm f(vec{r}))，则称 (f(vec{r})) 有偶、奇宇称。
宇称算符与反对称化算符是可交换的，所以它作用在多体波函数上，即作用在其中每个单粒子基上。
2. 多体波函数
任意多体波函数 (Psi) 都可以分解为偶宇称、奇宇称两部分，
[Psi = Psi_{even} + Psi_{odd}.
]
若想从中投影出偶/奇宇称，则可以这样做：
[Psi_{even} = frac{1}{2} ( 1 + hat{P}) Psi, ~~~ Psi_{odd} = frac{1}{2} ( 1 - hat{P}) Psi.
]
3. 角动量、宇称投影
在前面的笔记中，已经记了一些角动量投影相关的内容，角动量投影中最重要的是所谓“kernal”的计算：
[langle Psi_1 | hat{R} |Psi_2
angle, langle Psi_1 | hat{H} hat{R} | Psi_2
angle.
]
那么如果要进行偶宇称的计算，即需要关心
[langle Psi^{(1)}_{even} |hat{R}| Psi^{(2)}_{even}
angle, ~~~ langle Psi^{(1)}_{even} | hat{H} hat{R} | Psi^{(2)}_{even}
angle
]
因为 (hat{P}^dagger = hat{P}, [ hat{P}, hat{H}] = 0, [hat{P}, hat{R}] = 0)，容易推得
[langle Psi^{(1)}_{even} | hat{R} | Psi^{(2)}_{even}
angle = frac{1}{2} ( langle Psi_1 | hat{R} | Psi_2
angle + langle Psi_1 | hat{R} hat{P} | Psi_2
angle ),
]
[langle Psi^{(1)}_{even} |hat{H} hat{R} | Psi^{(2)}_{even}
angle = frac{1}{2} ( langle Psi_1 |hat{H} hat{R} | Psi_2
angle + langle Psi_1 | hat{H} hat{R} hat{P} | Psi_2
angle ),
]
[langle Psi^{(1)}_{odd} | hat{R} | Psi^{(2)}_{odd}
angle = frac{1}{2} ( langle Psi_1 | hat{R} | Psi_2
angle - langle Psi_1 | hat{R} hat{P} | Psi_2
angle ),
]
[langle Psi^{(1)}_{odd} | hat{H} hat{R} | Psi^{(2)}_{odd}
angle = frac{1}{2} ( langle Psi_1 | hat{H} hat{R} | Psi_2
angle - langle Psi_1 | hat{H} hat{R} hat{P} | Psi_2
angle ).
]
所以计算量增大一倍即可。