一个简单矩阵的本征值问题

这是个很简单的矩阵练习题，录在这里玩玩。

1. 问题描述

一个 \(n \times n\) 的方阵，所有对角元都是 0，所有非对角元都是 1，求本征值。

\[M_n = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \end{array} \right] \]

2. 问题解答

假设行列式

\[A_n ( \lambda ) = \left| \begin{array}{ccccc} \lambda & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & \lambda & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & -1 & \lambda & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & \lambda \\ \end{array} \right|, ~~~~~ B_n(\lambda ) = \left| \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & \lambda & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & -1 & \lambda & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & \lambda \\ \end{array} \right|, \]

所以这个本征值问题就是求 \(A_n(\lambda) = 0\) 的根。
容易看出，

\[A_n(\lambda) = \lambda A_{n-1}(\lambda) + (n-1)B_{n-1}(\lambda), \\ B_n(\lambda) = - A_{n-1}(\lambda) + (n-1)B_{n-1}(\lambda). \]

根据 \(A_1(\lambda) = \lambda, B_1(\lambda) = -1\)，再推几项，很容易总结出：

\[A_n(\lambda) = (\lambda + 1)^{n-1}[ \lambda - (n-1)], \\ B_n(\lambda) = - (\lambda + 1)^{n-1}. \]

可以验证，它们满足上面的递推式。

3. 本征矢特点

\(\lambda = n-1\) 的时候，本征矢最具对称性:

\[\vec{v} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right] \]