P4169 [Violet]天使玩偶/SJY摆棋子

Problem

Solution

考虑静态

对于每一组询问((x,y))和现在已经确定的点(P = {(x_i,y_i)})，答案即为：
(min_{1 le i le |P|}{|x - x_i| + |y - y_i|})

发现有绝对值不太好整，考虑拆开，分成四种情况：
(min_{1 le i le |P|,x_i le x,y_i le y} {x + y - (x_i + y_i)})
(min_{1 le i le |P|,x_i ge x,y_i le y} {y - x - (y_i - x_i)})
(min_{1 le i le |P|,x_i le x,y_i ge y} {x - y - (x_i - y_i)})
(min_{1 le i le |P|,x_i ge x,y_i ge y} {-x - y - (-x_i - y_i)})
然后取最小值。
对于每个情况，变成了一个二位偏序，直接排序+BIT即可，BIT里面维护的是(dx cdot x + dy cdot y)的最大值，下标为(y)，(dx,dy)按情况决定，例如第一个情况就是(dx = 1,dy = 1).
如果有多组询问，那么就将询问和修改放在一起，然后按照(x)排序即可。

化动为静

使用cdq分治，对于cdq(l,r)，先解决cdq(l,mid)和cdq(mid + 1,r)，然后考虑左边的修改对右边询问的影响。
这时候就可以转化问题：上面提到的(P)集合就是([l,mid])中的修改，询问就是([mid + 1,r])中的询问，进行四个情况分别处理即可。

Code

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 6e5 + 5,MAXY = 1e6 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n,m;
int Maxy = 0;

struct Point
{
    int x,y;
    Point() {}
    Point(int _x,int _y) : x(_x),y(_y) {}
};

struct query
{
    int t,x,y;
}Q[N],b[N];
int ans[N];

template <typename T> void read(T &x)
{
    int w = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch == '-') w = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    x *= w;
    return;
}
void write(int x)
{
    if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    char ch = (x % 10) + 48;
    putchar(ch);
    return;
}

struct BIT
{
    int A[MAXY];
    int lowbit(int x) {return x & (-x);}
    void add(int x,int d)
    {
        while(x <= Maxy)
        {
            A[x] = max(A[x],d);
            x += lowbit(x);
        }
        return;
    }
    int query(int x)
    {
        int ans = -inf;
        while(x)
        {
            ans = max(ans,A[x]);
            x -= lowbit(x);
        }
        return ans;
    }
    void clear(int x,int d)
    {   
        while(x <= Maxy)
        {
            A[x] = d;
            x += lowbit(x);
        }
        return;
    }
}T;

bool compare(const struct query &x,const struct query &y)
{
    if(x.x == y.x) return x.y < y.y;
    return x.x < y.x;
}

void solve(int l,int r,int opt) /*opt = 0 左下 opt = 1 左上 opt = 2 右下 opt = 3 右上*/
{
    if(opt == 0) 
    {
        for(int i = l; i <= r; i++)
        {
            int sum = b[i].x + b[i].y;
            if(Q[b[i].t].t == 1) 
            {
                T.add(b[i].y,sum);
            }
            else ans[b[i].t] = min(ans[b[i].t],abs(sum - T.query(b[i].y)));
        }
        for(int i = l; i <= r; i++) if(Q[b[i].t].t == 1) T.clear(b[i].y,-inf);
    }
    else if(opt == 1)
    {
        for(int i = l; i <= r; i++)
        {
            int sum = b[i].x - b[i].y;
            if(Q[b[i].t].t == 1)
            {
                T.add(Maxy - b[i].y,sum);
            }
            else ans[b[i].t] = min(ans[b[i].t],abs(sum - T.query(Maxy - b[i].y)));
        }
        for(int i = l; i <= r; i++) 
        {
            if(Q[b[i].t].t == 1) T.clear(Maxy - b[i].y,-inf);
        }
    }
    else if(opt == 2)
    {
        for(int i = r; i >= l; i--)
        {
            int sum = b[i].y - b[i].x;
            if(Q[b[i].t].t == 1)
            {
                T.add(b[i].y,sum);
            }
            else ans[b[i].t] = min(ans[b[i].t],abs(sum - T.query(b[i].y)));
        }
        for(int i = r; i >= l; i--)
        {
            if(Q[b[i].t].t == 1) T.clear(b[i].y,-inf);
        }
    }
    else
    {
        for(int i = r; i >= l;i--) 
        {
            int sum = -b[i].x - b[i].y;
            if(Q[b[i].t].t == 1)
            {
                T.add(Maxy - b[i].y,sum);
            }
            else ans[b[i].t] = min(ans[b[i].t],abs(sum - T.query(Maxy - b[i].y)));
        }
        for(int i = r; i >= l; i--) 
        {
            if(Q[b[i].t].t == 1) T.clear(Maxy - b[i].y,-inf);
        }
    }
    return;
}

void CDQ(int l,int r)
{
    if(l >= r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r);
    int tot = 0;
    for(int i = l; i <= mid; i++) 
    {
        if(Q[i].t == 1) b[++tot] = Q[i],b[tot].t = i;
    }
    for(int i = mid + 1; i <= r; i++)
    {
        if(Q[i].t == 2)
        {
            b[++tot] = Q[i];b[tot].t = i;
        }
    }
    //将[l,mid]的修改和[mid + 1,r]的查询加入
    sort(b + 1, b + tot + 1, compare);
    for(int i = 0; i <= 3; i++) solve(1,tot,i);
    return;
}

int main(void)
{
    read(n),read(m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        read(Q[i].x),read(Q[i].y);
        ++Q[i].x,++Q[i].y;
        Q[i].t = 1;
        Maxy = max(Maxy,Q[i].y);
    }
    for(int i = n + 1; i <= n + m; i++)
    {
        read(Q[i].t),read(Q[i].x),read(Q[i].y);
        ++Q[i].x,++Q[i].y;
        Maxy = max(Maxy,Q[i].y);
    }
    ++Maxy;
    for(int i = 1; i <= n + m; i++) ans[i] = inf;
    for(int i = 0; i <= Maxy; i++) T.A[i] = -inf;
    CDQ(1,n + m);
    for(int i = n + 1; i <= n + m; i++) if(Q[i].t == 2) {write(ans[i]);putchar('
');}
    return 0;
}

Tricks

有一部分是要处理>部分的，因为这里的BIT维护的是最大值，所以不能用减的方法。考虑将整个树状数组倒序，第(i)个就变成了第(n - i)个，>也变成<，再进行处理即可。