说在前面
事情是这样的:我又在颓b站,然后主页推了一个奇怪的视频
Problem
在日历上随便挑一个(4 imes 4)框,先随机选一个数,然后将这个数所在行和列划掉,剩下的数中再选一个,以此类推,选四个数,四个数和为定值。(指在(4 imes 4)框确定情况下为定值)
Solution
1min没切掉的建议remake。
把这个看成一个矩阵,那么(a_{i,j} = 7i + j - 8 + a_{1,1}),易证。
设选择的四个数为(a_{x_1,y_1},a_{x_2,y_2},a_{x_3,y_3},a_{x_4,y_4}),且保证({x_1,x_2,x_3,x_4},{y_1,y_2,y_3,y_4})都是({1,2,3,4})的一个全排列。
和为(7x_1 + y_1 - 8 + cdots + 7x_4 + y_4 - 8 = 7(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + (y_1+y_2+y_3+y_4) - 32 + 4 cdot a_{1,1})
显然,(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = y_1+y_2+y_3+y_4 = 10)
所以和(=48 + 4cdot a_{1,1})