比赛的时候做了一道欧拉函数的题目，所以想在这里整理一下定义。
- 定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function，例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
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φ函数的值 通式：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1) = 1 （唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4。若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
- 证明 ： 设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，若n= ∏p^(α（下标p）)p|n，则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)p|n p|n，例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24
与欧拉定理、费马小定理的关系 ： 对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有a^φ(m)≡1(mod m) 即欧拉定理当m是质数p时，此式则为： a^(p-1)≡1(mod m) 即费马小定理。
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资料2 三个引理：
1、对于某一素数p，则φ(p)=p-1
2、对于某一素数p的幂次p^a,φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)
3、对于某一合数n可分解为两个素数之积a*b，则φ(n)=φ(a)*φ(b)
证明：
对于p^a-1个比p^a小的数，其中所有p的倍数可以表示为t*p{t=1,2,3,…,p^(a-1)-1}，所以φ(p^a)=p^a-1(-p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)
在比a*b小的a*b-1个整数中，只有那些既与a互质、又与b互质的数才会满足与a*b互质，而显然满足条件的有φ(a)*φ(b)个数，所以φ(a*b)=φ(a)*(b)
扩展引理：
(p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*…*(pk^ak)为正整数n的素数幂表示形式，那么有φ（n）=φ(p1^a1)*φ(p2^a2)*φ(p3^a3)*…*φ(pk^ak)
- 模板 ：
1 int eular(int x) 2 { 3 int res = x; 4 for (int i =2; i < (int) sqrt(x *1.0) +1; i++) 5 { 6 if (x % i ==0) 7 { 8 res = res / i * (i -1); 9 while (x % i ==0) 10 x /= i; // 保证i一定是素数 11 } 12 } 13 if (x > 1) 14 res = res / x * (x -1); 15 return res ; 16 }
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bool IsPrime[10000001]; int Pri[2000001],PriN; int FindPrime ( int MaxN ) { for( int i = 2 ; i <= MaxN ; ++i ){ if( IsPrime[ i ] ) Pri[ PriN++ ]=i; //将这句话放在下面的循环前以保证PriN和Pri值的完整性 for(int j=0;j<PriN;++j){ if( i*Pri[ j ] > MaxN ) break; //当过大了就跳出 IsPrime[ i * Pri[ j ] ] = 0; //筛去素数 if( i % Pri[ j ] == 0 ) break; //这里是关键,如果i是一个合数(这当然是允许的)而且i mod prime[j] = 0 //那么跳出,因为i*prime[ (- over -)j ]一定已经被筛去了,被一个素因子比i小的数 } } }