模板：左偏树

如果你知道priority_queue的话，那自然就知道左偏树的目的了。

左偏树的目的和优先队列一致，就是求出当前所在堆中的最大（小）值。

但是我们作为高贵的C++选手，我们为什么还要学习左偏树呢。

当然是因为priority_queue太！慢！了！

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概念引入：

对于左偏树，我们引入两个概念：

外节点：如果该节点的左子树或右子树为空，那么该节点为外节点。

距离（dis）：该节点到达最近的外节点经过的边的个数。

我们同时将优先队列的定义照搬过来：

键值（val）：节点的权值。

同时将优先队列的性质照搬过来：

性质1：节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。

对于左偏树，赋予它一个性质：

性质2：节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。

同时可以推出：

性质3：节点的距离等于它的右子节点的距离加1。（显然）

为了满足性质3，我们规定空节点的dis为-1。

此外还有很多性质，不过都是跟推左偏树复杂度相关的性质，有兴趣可以百度。

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复杂度：

这里直接给出左偏树的复杂度：

合并：O(logN1+logN2)（N1和N2分别为待合并左偏树的节点个数）

插入：O(logn)

删除最小节点：O(logn)

建树：O(n)

删除已知编号节点：O(logn)

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基本操作：

以建立大根堆为例，现将前三个操作说明。

合并：

　　按照左偏树的定义合并即可。

　　设要合并的两个堆的根节点为x，y。

　　如果其中一个堆为空堆，则不需合并。

　　否则比较它们的val，设x为val较小的堆根节点。

　　则x显然是新堆（子堆）的根节点，但是y在哪里我们并不知道。

　　为了满足左偏树的性质（不提供证明），我们将x的右子堆和y堆合并，最后按照它们的dis交换一下左右儿子即可。

插入：

　　将插入元素看成堆的话，与合并相同。

删除最小节点：

　　将根节点删除后，其左右子堆合并即可。

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学到这里代码实现不是很难，这里提供板子题目：

洛谷P3377：[模板]左偏树（可并堆）：https://www.luogu.org/problemnew/show/3377

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cctype>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e5+3;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
int fa[N];
struct tree{
    int l,r;
    int dis,val;
}tr[N];
int merge(int x,int y){//两个堆的根，返回新堆的根
    if(x==0||y==0)return x+y;//其中一个是空堆
    if(tr[x].val>tr[y].val||(tr[x].val==tr[y].val&&x>y))
    swap(x,y);//让x的价值比y的价值小，这样x就在y上面
    tr[x].r=merge(tr[x].r,y);//合并x右树和y
    fa[tr[x].r]=x;
    if(tr[tr[x].l].dis<tr[tr[x].r].dis)
    swap(tr[x].l,tr[x].r);//让右儿子更接近外节点
    tr[x].dis=tr[tr[x].r].dis+1;//根据右儿子dis更新节点dis
    return x;
}
int get(int x){
    while(fa[x])x=fa[x];
    return x;
}
void del(int x){
    tr[x].val=-1;
    fa[tr[x].l]=fa[tr[x].r]=0;
    merge(tr[x].l,tr[x].r);
    return;
}
int main(){
    int n=read();
    int m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)tr[i].val=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
    int c=read();
    if(c==1){
        int x=read();
        int y=read();
        if(tr[x].val==-1||tr[y].val==-1||x==y)continue;
        int nx=get(x);
        int ny=get(y);
        merge(nx,ny);
    }else{
        int x=read();
        if(tr[x].val==-1){
        puts("-1");
        }else{
        int y=get(x);
        printf("%d
",tr[y].val);
        del(y);
        }
    }
    }
    return 0;
}

 例题：

BZOJ2809：[Apio2012]dispatching：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/7999445.html

POJ3666：Making the Grade：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8005148.html