BZOJ4650：[NOI2016]优秀的拆分——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4650

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1117

如果一个字符串可以被拆分为 AABB 的形式，其中 A和 B是任意非空字符串，则我们称该字符串的这种拆分是优秀的。

例如，对于字符串 aabaabaa，如果令 A=aab，B=a，我们就找到了这个字符串拆分成 AABB的一种方式。

一个字符串可能没有优秀的拆分，也可能存在不止一种优秀的拆分。比如我们令 A=a，B=baa，也可以用 AABB表示出上述字符串；但是，字符串 abaabaa 就没有优秀的拆分。

现在给出一个长度为 n的字符串 S，我们需要求出，在它所有子串的所有拆分方式中，优秀拆分的总个数。这里的子串是指字符串中连续的一段。

以下事项需要注意：

1.出现在不同位置的相同子串，我们认为是不同的子串，它们的优秀拆分均会被记入答案。

2.在一个拆分中，允许出现 A=B。例如 cccc 存在拆分 A=B=c。

3.字符串本身也是它的一个子串。

这类题的方法还是见少了啊，听说神犇都是一眼秒的，果然还是有很大的差距啊，唉……

对于AABB，我们完全可以只考虑AA，这样令f[i]表示以i结尾的AA数量，g[i]表示以i开头的AA数量，那么显然就是sigma(f[i]g[i+1])。

对于AA怎么求，大体的思路和URAL1297：Palindrome求回文串是一样的，就是通过比较后缀的公共前缀来得到AA的长度，进而求出这段区间内f[i]g[i]的值。

但是这样显然是O(n^2)的。

我们用（黑）分（科）块（技）的思想，枚举l，将字符串分成l大小的块，则长度为l的AA一定最少跨过两个块，于是对于块边界点，求一次公共前缀和后缀，拼在一起就是我们所要的答案，复杂度调和级数O(nlogn)。

注意，为了让复杂度正确，我们对区间的f和g差分。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+10;
char s[N];
int n,m,rk[N],height[N],sa[N],w[N],cas,dp[N][21],lg[N];
int f[N],g[N];
inline int qpow(int a){return 1<<a;}
inline bool pan(int *x,int i,int j,int k){
    int ti=i+k<n?x[i+k]:-1;
    int tj=j+k<n?x[j+k]:-1;
    return ti==tj&&x[i]==x[j];
}
void SA_init(){
    int *x=rk,*y=height,r=256;
    for(int i=0;i<r;i++)w[i]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)w[s[i]]++;
    for(int i=1;i<r;i++)w[i]+=w[i-1];
    for(int i=n-1;i>=0;i--)sa[--w[s[i]]]=i;
    r=1;x[sa[0]]=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    x[sa[i]]=s[sa[i]]==s[sa[i-1]]?r-1:r++;
    for(int k=1;r<n;k<<=1){
    int yn=0;
    for(int i=n-k;i<n;i++)y[yn++]=i;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(sa[i]>=k)y[yn++]=sa[i]-k;
    for(int i=0;i<r;i++)w[i]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)w[x[y[i]]]++;
    for(int i=1;i<r;i++)w[i]+=w[i-1];
    for(int i=n-1;i>=0;i--)sa[--w[x[y[i]]]]=y[i];
    swap(x,y);r=1;x[sa[0]]=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
        x[sa[i]]=pan(y,sa[i],sa[i-1],k)?r-1:r++;
    }
}
inline void height_init(){
    int i,j,k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)rk[sa[i]]=i;
    for(int i=0;i<n;i++){
    if(k)k--;
    j=sa[rk[i]-1];
    while(s[i+k]==s[j+k])k++;
    height[rk[i]]=k;
    }
}
void st_init(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
    dp[i-1][0]=height[i];
    lg[i]=lg[i-1];
    if((1<<lg[i]+1)==i)lg[i]++;
    }
    for(int j=1;j<=lg[n];j++){
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i+qpow(j)-1>=n)break;
        dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+qpow(j-1)][j-1]);
    }
    }
}
int lcp(int a,int b){
    int l=rk[a],r=rk[b];
    if(r<l)swap(l,r);
    l--;r--;
    if(r<0)return 0;
    l++;
    int len=r-l+1;
    int k=lg[len];
    int h=qpow(k);
    return min(dp[l][k],dp[r-h+1][k]);
}
int main(){
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--){
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(g,0,sizeof(g));
    cin>>s;
    m=strlen(s),n=2*m+1;
    s[m]='$';
    for(int i=m+1;i<n;i++){
        s[i]=s[n-i-1];
    }
    s[n++]=0;
    SA_init();
    n--;
    height_init();
    st_init();
    for(int l=1;l<=m/2;l++){
        for(int i=0,j=l;j<m;i+=l,j+=l){
        int p=min(l,lcp(i,j));
        int s=min(l,lcp(n-i-1,n-j-1));
        if(p+s-1>=l){
                    f[j-s+l]++;f[j+p]--;
            g[i-s+1]++;g[i+p-l+1]--;
        }
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<m;i++){
        f[i]+=f[i-1];
        g[i]+=g[i-1];
    }
    for(int i=0;i<m-1;i++){
        ans+=(ll)f[i]*g[i+1];
    }
    printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

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