BZOJ1061：[NOI2008]志愿者招募——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1061

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3980

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

（先吐槽这题说其他数据均不超过2^31-1，那么这题如果c=2^31-1，a=2^31-1，怕不是要爆longlong（滑稽））

一个非常奇妙的建图费用流。

开始想法是上下界费用流，然后对于每一天往汇点流一遍，然后对于能不能把人收回去这一个问题表示十分纠结于是弃疗。

考虑最开始S结点有INF，我们希望到T仍然有INF的流量，然而在经过每天的时候（比如在s天），很不幸，这条边权为INF-a[i]，怎么办呢？我们就需要付钱c将一些流量传送到t+1（显然s~t天就会少需要这些人从而变相相当于这些人在s~t天内干活了）。

（当然如果最后得到的流量并非INF就说明无解了。）

……是的，这就是这道题的建图思路，十分的妙啊。

仔细思考一下，它有效规避了下界，人员持续工作与进入撤出的问题（实在不行感性画图一下）。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1010;
const int M=3e4+5;
const int INF=1e9;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int nxt,to,w,b;
}edge[M];
int head[N],cnt=-1;
inline void add(int u,int v,int w,int b){
    edge[++cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].b=b;
    edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
    edge[++cnt].to=u;edge[cnt].w=0;edge[cnt].b=-b;
    edge[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt;
}
int dis[N];
bool vis[N];
inline bool spfa(int s,int t,int n){
    deque<int>q;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;
    dis[t]=0;q.push_back(t);vis[t]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop_front();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].to;
            int b=edge[i].b;
            if(edge[i^1].w&&dis[v]>dis[u]-b){
                dis[v]=dis[u]-b;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;
                    if(!q.empty()&&dis[v]<dis[q.front()]){
                        q.push_front(v);
                    }else{
                        q.push_back(v);
                    }
                }
            }
        }
    }
    return dis[s]<INF;
}
int ans,cur[N];
int dfs(int u,int flow,int m){
    if(u==m){
        vis[m]=1;
        return flow;
    }
    int res=0,delta;
    vis[u]=1;
    for(int &e=cur[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){
        int v=edge[e].to;
        int b=edge[e].b;
        if(!vis[v]&&edge[e].w&&dis[u]-b==dis[v]){
            delta=dfs(v,min(edge[e].w,flow-res),m); 
            if(delta){
                edge[e].w-=delta;
                edge[e^1].w+=delta;
                res+=delta;
                   ans+=delta*b;
                if(res==flow)break;
            }
        }
    }
    return res;
}
inline int costflow(int S,int T,int n){
    int flow=0;
    while(spfa(S,T,n)){
        do{
            for(int i=1;i<=n;i++)cur[i]=head[i];
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            flow+=dfs(S,INF,T);
        }while(vis[T]);
    }
    return ans;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int n=read(),m=read(),S=n+2,T=S+1;
    add(S,1,INF,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(i,i+1,INF-read(),0);
    }
    add(n+1,T,INF,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int s=read(),t=read(),c=read();
        add(s,t+1,INF,c);
    }
    printf("%d
",costflow(S,T,T));
    return 0;
}

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