51NOD 1594：Gcd and Phi——题解

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1594

参考及详细推导：http://www.cnblogs.com/rir1715/p/8584083.html

设(cnt_i=sum_{j=1}^n[phi(j)==i])，这个可以在(O(n))处理出来。

我们用它把(phi(i)phi(j))换元得：

(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nphi(gcd(i,j)) imes cnt_i imes cnt_j)

(=sum_{d=1}^nphi(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d] imes cnt_i imes cnt_j)

好的最难的部分已经过去了，随着一阵套路，这个式子索然无味。

(=sum_{d=1}^nphi(d)sum_{d'=1}^nmu(d')(sum_{i=1}^{frac{n}{dd^`}}cnt_{idd'})^2)

令(sum(t)=sum_{i=1}^{frac{n}{t}}cnt_{it})，这个可以在(O(nlogn))处理出来（调和级数）。

式子

(=sum_{d=1}^nphi(d)sum_{d'=1}^nmu(d')sum(dd')^2)

然后我们发现当(dd'>n)时(sum(dd')=0)，所以我们(d')不需要枚举那么多，所以最终的式子为：

(sum_{d=1}^nphi(d)sum_{d'=1}^{frac{n}{d}}mu(d')sum(dd')^2)

这个式子可以在(O(nlogn))运算（调和级数）。

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#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+5;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
bool he[N];
int su[N],tot;
ll phi[N],mu[N],cnt[N],sum[N];
void Euler(int n){
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!he[i]){
	    su[++tot]=i;
	    phi[i]=i-1;mu[i]=-1;
	}
	for(int j=1;j<=tot&&i*su[j]<=n;j++){
	    int p=su[j];he[i*p]=1;
	    if(i%p==0){
		mu[i*p]=0;phi[i*p]=phi[i]*p;
		break;
	    }else{
		mu[i*p]=mu[i]*mu[p];phi[i*p]=phi[i]*phi[p];
	    }
	}
    }
}
int main(){
    Euler(N-5);
    int t=read();
    while(t--){
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	int n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)cnt[phi[i]]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n/i;j++)
		sum[i]+=cnt[i*j];
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]*=sum[i];
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n/i;j++)
		ans+=phi[i]*mu[j]*sum[i*j];
	printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

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