随机数范围扩展方法总结

题目：

已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。

分析：要保证rand10()在整数1-10的均匀分布，可以构造一个1-10*n的均匀分布的随机整数区间（n为任何正整数）。假设x是这个1-10*n区间上的一个随机整数，那么x%10+1就是均匀分布在1-10区间上的整数。由于(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数（原因见下面的说明），可以将41～49这样的随机数剔除掉，得到的数1-40仍然是均匀分布在1-40的，这是因为每个数都可以看成一个独立事件。

下面说明为什么(rand7()-1)*7+rand7()可以构造出均匀分布在1-49的随机数:

首先rand7()-1得到一个离散整数集合{0，1，2，3，4，5，6}，其中每个整数的出现概率都是1/7。那么(rand7()-1)*7得到一个离散整数集合A={0，7，14，21，28，35，42}，其中每个整数的出现概率也都是1/7。而rand7()得到的集合B={1，2，3，4，5，6，7}中每个整数出现的概率也是1/7。显然集合A和B中任何两个元素组合可以与1-49之间的一个整数一一对应，也就是说1-49之间的任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素的一种组合方式，反过来也成立。由于A和B中元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/7*1/7=1/49。因此(rand7()-1)*7+rand7()生成的整数均匀分布在1-49之间，每个数的概率都是1/49。

程序：

int rand_10()
{
    int x = 0;
    do
    {
        x = 7 * (rand7() - 1) + rand7();
    }while(x > 40);
    return x % 10 + 1;
}

注：有朋友问为什么用while(x>40)而不用while(x>10）呢？原因是如果用while(x>10）则有40/49的概率需要循环while，很有可能死循环了。

问题描述

已知random3()这个随机数产生器生成[1, 3]范围的随机数，请用random3()构造random5()函数，生成[1, 5]的随机数？

问题分析

如何从[1-3]范围的数构造更大范围的数呢？同时满足这个更大范围的数出现概率是相同的，可以想到的运算包括两种：加法和乘法

考虑下面的表达式：

3 * (random3() – 1) + random3();

可以计算得到上述表达式的范围是[1, 9] 而且数的出现概率是相同的，即1/9

下面考虑如何从[1, 9]范围的数生成[1, 5]的数呢？

可以想到的方法就是 rejection sampling 方法，即生成[1, 9]的随机数，如果数的范围不在[1, 5]内，则重新取样

解决方法：

int random5()
{
    int val = 0;
    do
    {
        val = 3 * (random3() - 1) + random3();
    }while(val > 5);
    return val;
}

归纳总结

将这个问题进一步抽象，已知random_m()随机数生成器的范围是[1, m] 求random_n()生成[1, n]范围的函数，m < n && n <= m *m

一般解法：

int random_n()
{
    int val = 0;
    int t;   //t为n的最大倍数，且满足t<m*m
    do
    {
        val = m * (random_m() - 1) + random_m();
    }while(val > t);
    return val;
}