词法分析器2(εNFA到DFA的转换)

接上一篇我们已经得到了一个完整的ε-NFA，下面来说说如何将ε-NFA转换为DFA（确定有限自动机）。

 

DFA的状态

在DFA中，某个状态对应到ε-NFA中的若干状态，应此我们将会得到下面这样的一个结构。

        struct DFA_State
        {
            set<EpsilonNFA_State*> content;
            bool                   bFlag;
#ifdef _DEBUG
            uint                   idx;
#endif

            DFA_State(const set<EpsilonNFA_State*>& x) : content(x), bFlag(false)
            {
#ifdef _DEBUG
                idx = inc();
#endif
            }

            inline const bool operator==(const DFA_State& x)const
            {
                if (&x == this) return true;

                return content == x.content;
            }

#ifdef _DEBUG
            inline uint inc()
            {
                static uint i = 0;
                return i++;
            }
#endif
        };

可以看到，为了调试方便我们在结构中定义了状态的唯一ID以及对应到ε-NFA状态的集合和一个标记位。

DFA的边

根据上一篇的经验，不难想到DFA的边应该是什么样的，下面直接给出代码，不做说明。

        struct DFA_Edge
        {
            struct
            {
                Char_Type   char_value;
                String_Type string_value;
            }data;

            enum Edge_Type
            {
                TUnknown = 0,
                TNot     = 1,
                TChar    = 2,
                TString  = 4
            };

            uchar edge_type;

            DFA_State* pFrom;
            DFA_State* pTo;

            DFA_Edge(const Char_Type& x, bool bNot, DFA_State* pFrom, DFA_State* pTo) : pFrom(pFrom), pTo(pTo)
            {
                data.char_value = x;
                edge_type = bNot ? (TChar | TNot) : TChar;
            }

            DFA_Edge(const String_Type& x, bool bNot, DFA_State* pFrom, DFA_State* pTo) : pFrom(pFrom), pTo(pTo)
            {
                data.string_value = x;
                edge_type = bNot ? (TString | TNot) : TString;
            }

            inline const bool isNot()const
            {
                return (edge_type & TNot) == TNot;
            }

            inline const bool isChar()const
            {
                return (edge_type & TChar) == TChar;
            }

            inline const bool isString()const
            {
                return (edge_type & TString) == TString;
            }

            const Edge_Type edgeType()const
            {
                if (isChar()) return TChar;
                else if (isString()) return TString;
                else return TUnknown;
            }

            const bool operator<(const DFA_Edge& x)const
            {
                return (ulong)pFrom + pTo < (ulong)x.pFrom + x.pTo;
            }

            const bool operator==(const DFA_Edge& x)const
            {
                return pFrom == x.pFrom && pTo == x.pTo;
            }
        };

由于DFA中不存在ε边，应此DFA将会存在若干个结束状态，但他只有一个开始状态

DFA_State*      pDFAStart;
set<DFA_State*> pDFAEnds;
set<DFA_Edge>   dfa_Edges;

为了下一步分析的高效，以后可能会将这里的dfa_Edges同样修改为hashmap。

至此DFA所要用到的两个结构迅速的介绍完了。

子集构造算法

通过各种资料，我们不难发现，从ε-NFA转换到DFA的过程中，最常用就是子集构造算法。子集构造算法的主要思想是让DFA的每个状态对应NFA的一个状态集。这个DFA用它的状态去记住NFA在读输入符号后达到的所有状态。（引自编译原理）其算法如下

输入：一个NFA N。
输出：一个接受同样语言的DFA D。
方法：
1.求取ε-NFA初始状态的ε闭包作为DFA的起始状态，并将这个状态加入集合C中，且它是未标记的。同时记录它的向后字符集。
2.从集合C中取出一个未被标记的子集T和其对应的字符集，标记子集T。
3.使用上一步取出的字符集通过状态转移函数求出转移后的状态集M。
4.求取上一步得到的状态集M的ε闭包U
5.如果U不在集合C中则将U作为未被标记的子集加入C中，同时记录它的向后字符集。检查状态U中是否存在NFA中的终结状态，若存在则将状态U加入到pDFAEnds中。
重复2，3，4，5部直至集合C中不存在未被标记的状态。

ε闭包

ε闭包是指从某个状态起只经过ε边达到的其他状态的集合，同时这个状态也属于这个集合中。其算法如下

输入：状态集k。
输出：状态集U和其所对应的向后字符集。
方法：
1.遍历状态集k中的每个状态k'。
2.若k'不存在于结果状态集U中，将k'插入U中。
3.建立一个临时集合tmp，并将k'插入其中。
4.从临时集合tmp中取出一个状态p。
5.取出所有从p出发的边，若这条边是ε边，且抵达状态不在结果状态集U中，将抵达的状态分别插入结果状态集U和临时集合tmp中。若这条边是字符集的边且这条边所对应的字符不在向后字符集中，则将向后字符插入向后字符集中。
6.将状态p从临时集合tmp中删除。
循环4，5，6部直至tmp中不存在任何状态为止。

由于在生成ε-NFA时不存在只有ε边的循环，应此这里不会产生死循环。下面给出具体的代码

        void epsilonClosure(const set<EpsilonNFA_State*>& k, EpsilonClosureInfo& info)
        {
            for (typename set<EpsilonNFA_State*>::const_iterator i = k.begin(), m = k.end(); i != m; ++i)
            {
                info.states.insert(*i);
                set<EpsilonNFA_State*> tmp;
                tmp.insert(*i);
                while (!tmp.empty())
                {
                    EpsilonNFA_State* pState = *tmp.begin();
                    for (typename vector<EpsilonNFA_Edge>::const_iterator j = epsilonNFA_Edges[pState].begin(), n = epsilonNFA_Edges[pState].end(); j != n; ++j)
                    {
                        if (j->isEpsilon())
                        {
                            if (info.states.insert(j->pTo).second) tmp.insert(j->pTo);
                        }
                        else if (j->isChar()) info.chars.insert(pair<Char_Type, bool>(j->data.char_value, j->isNot()));
                        else if (j->isString()) info.strings.insert(pair<String_Type, bool>(j->data.string_value, j->isNot()));
                    }
                    tmp.erase(pState);
                }
            }
        }

其中用到的EpsilonClosureInfo结构为

        struct EpsilonClosureInfo
        {
            set<EpsilonNFA_State*>        states;
            set<pair<Char_Type, bool> >   chars;
            set<pair<String_Type, bool> > strings;

            EpsilonClosureInfo() {}

            EpsilonClosureInfo(const set<EpsilonNFA_State*>& states,
                               const set<pair<Char_Type, bool> >& chars,
                               const set<pair<String_Type, bool> >& strings)
                               : states(states)
                               , chars(chars)
                               , strings(strings) {}

            EpsilonClosureInfo(const EpsilonClosureInfo& x)
            {
                states  = x.states;
                chars   = x.chars;
                strings = x.strings;
            }
        };

需要保存的是状态集和向后字符集。

状态转移函数

通过状态转移函数，输入一个集合T和一个字符a将可得到所有通过T中的每一个状态和a边所能达到的状态的集合。应此代码如下

        set<EpsilonNFA_State*> move(const DFA_State& t, const Char_Type& c, bool bNot)
        {
            set<EpsilonNFA_State*> result;
            for (typename set<EpsilonNFA_State*>::const_iterator i = t.content.begin(), m = t.content.end(); i != m; ++i)
            {
                for (typename vector<EpsilonNFA_Edge>::const_iterator j = epsilonNFA_Edges[*i].begin(), n = epsilonNFA_Edges[*i].end(); j != n; ++j)
                {
                    if (j->isChar() && j->data.char_value == c && j->isNot() == bNot) result.insert(j->pTo);
                }
            }
            return result;
        }

        set<EpsilonNFA_State*> move(const DFA_State& t, const String_Type& s, bool bNot)
        {
            set<EpsilonNFA_State*> result;
            for (typename set<EpsilonNFA_State*>::const_iterator i = t.content.begin(), m = t.content.end(); i != m; ++i)
            {
                for (typename vector<EpsilonNFA_Edge>::const_iterator j = epsilonNFA_Edges[*i].begin(), n = epsilonNFA_Edges[*i].end(); j != n; ++j)
                {
                    if (j->isString() && j->data.string_value == s && j->isNot() == bNot) result.insert(j->pTo);
                }
            }
            return result;
        }

为了分别支持Char_Type和String_Type的字符我们定义了两个move函数。

最后我们给出子集构造算法的代码

        void buildDFA()
        {
            set<EpsilonNFA_State*> start;
            start.insert(pEpsilonStart);

            typedef pair<DFA_State*, EpsilonClosureInfo> c_type;

            map<size_t, list<c_type> > c;
            queue<c_type> c2;

            pDFAStart = DFA_State_Alloc::allocate();
            EpsilonClosureInfo info;
            epsilonClosure(start, info);
            construct(pDFAStart, info.states);

            c_type ct(pDFAStart, info);
            c[info.states.size()].push_back(ct);
            c2.push(ct);

            if (isEndDFAStatus(pDFAStart)) pDFAEnds.insert(pDFAStart);
            context.dfa_States.insert(pDFAStart);

            while (!c2.empty())
            {
                DFA_State* t = c2.front().first;
                set<pair<Char_Type, bool> > chars = c2.front().second.chars;
                set<pair<String_Type, bool> > strings = c2.front().second.strings;
                t->bFlag = true;

                for (typename set<pair<Char_Type, bool> >::const_iterator i = chars.begin(), m = chars.end(); i != m; ++i)
                {
                    EpsilonClosureInfo info;
                    epsilonClosure(move(*t, i->first, i->second), info);

                    DFA_State* p = getDFAState(info.states, c);
                    if (p) // 如果这个状态已存在
                    {
                        dfa_Edges.insert(DFA_Edge(i->first, i->second, t, p));
                    }
                    else
                    {
                        DFA_State* pState = DFA_State_Alloc::allocate();
                        construct(pState, info.states);
                        context.dfa_States.insert(pState);

                        if (isEndDFAStatus(pState)) pDFAEnds.insert(pState);

                        c_type ct(pState, info);
                        c[info.states.size()].push_back(ct);
                        c2.push(ct);

                        dfa_Edges.insert(DFA_Edge(i->first, i->second, t, pState));
                    }
                }

                for (typename set<pair<String_Type, bool> >::const_iterator i = strings.begin(), m = strings.end(); i != m; ++i)
                {
                    EpsilonClosureInfo info;
                    epsilonClosure(move(*t, i->first, i->second), info);

                    DFA_State* p = getDFAState(info.states, c);
                    if (p) // 如果这个状态已存在
                    {
                        dfa_Edges.insert(DFA_Edge(i->first, i->second, t, p));
                    }
                    else
                    {
                        DFA_State* pState = DFA_State_Alloc::allocate();
                        construct(pState, info.states);
                        context.dfa_States.insert(pState);

                        if (isEndDFAStatus(pState)) pDFAEnds.insert(pState);

                        c_type ct(pState, info);
                        c[info.states.size()].push_back(ct);
                        c2.push(ct);

                        dfa_Edges.insert(DFA_Edge(i->first, i->second, t, pState));
                    }
                }
                c2.pop();
            }
        }

尾声

同样我们来编写一个函数来打印出DFA。

        void printDFA()
        {
            printf("---------- DFA Start ----------\n");
            set<DFA_State*> tmp;
            for (typename set<DFA_Edge>::const_iterator i = dfa_Edges.begin(), m = dfa_Edges.end(); i != m; ++i)
            {
                printf("%03d -> %03d", i->pFrom->idx, i->pTo->idx);
                switch (i->edgeType())
                {
                case DFA_Edge::TChar:
                    printf("(%c)", i->data.char_value);
                    break;
                case DFA_Edge::TString:
                    printf("(%s)", i->data.string_value.c_str());
                    break;
                default:
                    break;
                }
                if (i->isNot()) printf("(not)");
                printf("\n");
                tmp.insert(i->pFrom);
                tmp.insert(i->pTo);
            }

            printf("start: %03d -> ends: ", pDFAStart->idx);
            for (typename set<DFA_State*>::const_iterator i = pDFAEnds.begin(), m = pDFAEnds.end(); i != m; ++i)
            {
                printf("%03d ", (*i)->idx);
            }
            printf("\n");
#if DEBUG_LEVEL == 3
            printf("-------------------------------\n");

            for (typename set<DFA_State*>::const_iterator i = tmp.begin(), m = tmp.end(); i != m; ++i)
            {
                printf("State: %03d\n", (*i)->idx);
                for (typename set<EpsilonNFA_State*>::const_iterator j = (*i)->content.begin(), n = (*i)->content.end(); j != n; ++j)
                {
                    printf("%03d ", (*j)->idx);
                }
                printf("\n");
            }
#endif
            printf("----------- DFA End -----------\n");
        }

最后我们加入测试代码

Rule_Type::Context context;
Rule_Type a('a', context), b('b', context), d('d', context);
Rule_Type result = (a - d).opt() + (+b | !(a + b));
result.buildDFA();

#ifdef _DEBUG
result.printEpsilonNFA();
result.printDFA();
#endif

可打印出如下内容

画成图如下

完整的代码可到http://code.google.com/p/qlanguage下载