LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法

动态规划

最长上升子序列问题（LIS）。给定n个整数，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列（子序列可以理解为：删除0个或多个数，其他数的顺序不变）。例如序列1, 6, 2, 3, 7, 5，可以选出上升子序列1, 2, 3, 5，也可以选出1, 6, 7，但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。

最容易想到的办法就是用一个数组f[i]保存到达第i个数的LIS

初始化f[i]=1

更新 f[i]=max{f[j]+1,f[i]|a[j]<a[i],1<=j<i}

即在第i位置前的比i小的最大的LIS+1

时间复杂度O(n^2)

#include<cstdio>
#include<iostream>//vj1098
#define ll long long
#define _max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=105;
int n,a[N],ans;
int f[N],g[N];
int main()
{
    freopen("sample.in","r",stdin);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]),f[i]=g[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<i;j++)
      if(a[j]<a[i])
       f[i]=_max(f[i],f[j]+1);
    for(int i=n;i>=1;i--)
     for(int j=n;j>i;j--)
      if(a[j]<a[i])
       g[i]=_max(g[i],g[j]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    ans=_max(ans,f[i]+g[i]-1);
    cout<<n-ans;
    return 0;
}

从蓝书和网上学到了一种更高效的O(nlogn)的算法

大概思路如下

　　d[i]表示以i结尾的最长的LIS的长度，则d[i]=max{0,d[j]|j<i,Aj<Ai}+1,最终答案是max{d[i]}。如果LIS中的元素可以相等，把小于号改成小于等于号即可。

　　假如已经计算出两个状态a，b满足Aa<Ab,且d[a]=d[b],则对于后续所有状态i（即i>a且i>b）来说，a并不会比b差——如果b满足Ab<Aa的条件，a也满足。换句话说，如果我们只保留a，一定不会丢失最优解。

　　这样，对于相同的d值，最需要保留A最小的一个。我们用g[i]表示d值为i的最小状态编号（如果不存在，g[i]定义为正无穷）。根据上推理可证明

　　g[1]<=g[2]<=g[3]<=……<=g[n]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define _max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=300005;
int n,k,a[N],b[N],o[N],ans,ma,mb;
int j,da[N],db[N],len,la,lb,mid;
int findpos(int *d,int l,int r,int key){
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(key>d[mid]){
            if(key<=d[mid+1])
                return mid;
            else l=mid+1;
        }else r=mid-1;
    }return 0;
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",o+i);
    for(int i=1;i<k;i++)    o[i]<o[k]?a[++la]=o[i]:la=la;
    for(int i=k+1;i<=n;i++)    o[i]>o[k]?b[++lb]=o[i]:lb=lb;
    da[1]=a[1],len=1,j=0;
    for(int i=2;i<=la;i++)da[a[i]>da[len]?++len:findpos(da,1,len,a[i])+1]=a[i];
    db[1]=b[1],len=1,j=0;
    for(int i=2;i<=lb;i++)db[b[i]>db[len]?++len:findpos(db,1,len,b[i])+1]=b[i];
    for(int i=la;i>=1;i--)da[i]?ans+=i,i=0:i=i;
    for(int i=lb;i>=1;i--)db[i]?ans+=i,i=0:i=i;
    cout<<ans+1;
    return 0;
}

汝佳的code核心

for(int i=1;i<=n;i++)g[i]=INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
    int k=lower_bound(g+1,g+n+1,A[i])-g;
    d[i]=k;
    g[k]=a[i];
}