【数据结构】最大流

最大流

1 简述

最大流：从源点到经过的所有路径的最终到达汇点的所有流量和。

流网络G=(V,E)是一个有向图，其中每条边(u,v)∈E均有一个非负容量c(u,v)>=0。如果(u,v)不属于E，则假定c(u,v)=0。

流网络有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。
把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。

2 求最大流

比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。

3 解析

• 该题的最大流为 3+4+1+1 = 9
• 图中增广路径有4条，分别是
  1. s -> a -> b -> t delta=3
  2. s -> c -> d -> t delta=4
  3. s -> c -> a -> b -> d -> t delta=1
  4. s -> a -> b -> d -> t delta=1