并查集(Union-Find)

一、基本操作：

1、Find：当且仅当两个元素属于相同的集合时，返回相同的名字

2、Union：将两个不相交的集合合并为一个不想交的集合。

应用：在等价关系中，判断两个元素之间是否有关系或者添加等价关系。

二、基本数据结构

1、Quick-Find实现

采用一个数组保存每个等价类的名字，这种实现下Find的复杂度为O(1)，而Union实现的复杂度为O(n)。

例如Union(i，j)：Union操作需要遍历整个数组，将所有为j的元素改为i。

public class ADTQuickFind {
    private int[] id;
    private int size;
    public ADTQuickFind(int size){
        this.size = size;
        id = new int[size];
        //初始化默认所有节点不联通
        for(int i = 0; i < size; i++)
            id[i] = i;
    }

    public int find(int p){
        //p的值出现异常
        if(p < 0 || p >= size)
            return  -1;
        return id[p];
    }

    public void Union(int p, int q){
        int pId = find(p);
        int qId = find(q);
        if(pId == qId)
            return;
        for(int i = 0; i < size; i++){
            if(id[i] == qId)
                id[i] = pId;

        }
    }

    public boolean isRelated(int p, int q){
        return find(p) == find(q);
    }
}

如果最开始所有元素都不连通，那么最多执行N-1次Union运算，此时所有的元素都在一个等价类中，总的时间复杂度为O(n2)。

如果Find运算比较多的情况下，存在Ω(n2)次Find运算，那么平均每次Find或者Union的时间复杂度为O(1)，但是如果Find的次数比较少，那么这种方法是不可以接受的。

2、Quick-Union实现

在数组中隐式地存储一个森林，每个数组对应的位置存储对应节点的父节点的编号，树根节点保存自己的编号。

Find：由于Find操作要求当且仅当两个元素在相同的集合时，作用在两个元素上的Find操作返回相同的名字。而返回元素的标记是什么并不重要，因此通过返回一个节点的根节点的编号代表节点所处等价类的编号。

Union：使一个节点的根指针指向另一棵树的根节点。

public class ADTQuickUnion {
    int[] parent;
    int size;
    public ADTQuickUnion(int size){
        this.size = size;
        parent = new int[size];
        for(int i = 0; i < size; i++)
            parent[i] = i;
    }
    public int find(int p){
        if(p < 0 || p >= size)
            return -1;   //出现异常值
        while(parent[p] != p)
            p = parent[p];
        return p;
    }
    public void union(int p, int q){
        int pId = find(p);
        int qId = find(q);
        if(pId == qId)
            return;
        parent[qId] = pId;
    }
    public boolean isRelated(int p, int q){
        return find(p) == find(q);
    }
}

算法中执行Find操作花费的时间与节点的深度成正比，最坏情况下，会建立一个深度为N-1的树，使用一次Find的最坏情形运行时间为O(n)。

3、QuickUnionBetter实现

在Union操作中，将元素个数较少的树插到元素个数较多的树的根节点上。

public class ADTQuickUnionBetter {
    private int[] parent;
    private int[] mSize;
    private int size;
    public ADTQuickUnionBetter(int size){
        this.size = size;
        parent = new int[size];
        mSize = new int[size];
        for(int i = 0; i < size; i++){
            parent[i] = i;
            mSize[i] = 1;
        }
    }
    public int find(int p){
        if(p < 0 || p >= size)
            return -1;  //表明出现异常值
        while(p != parent[p])
            p = parent[p];
        return p;
    }
    public void union(int p, int q){
        int pId = find(p);
        int qId = find(q);
        if(pId == qId)
            return;
        if(mSize[pId] < mSize[qId]){
            parent[pId] = qId;
            mSize[qId] = mSize[pId] + mSize[qId];
        }
        else{
            parent[qId] = pId;
            mSize[pId] = mSize[qId] + mSize[pId];
        }
    }
    public boolean isRelated(int p, int q){
        return find(p) == find(q);
    }
}

可以证明，任何节点的深度不会超过log(n)，由于随着深度每次随着Union的结果而增大1时，该节点被置于节点数至少为原先两倍大的树上。

因此Find操作的时间复杂度为O(log(n))，连续M次操作的时间复杂度为O(MlogN)，平均时间得到证明为O(M)时间，为线性的。

4、Find中优化路径压缩优化路径压缩

public int find(int p){
    if(p < 0 || p >= size)
        return -1;  //异常值
    while(p != parent[p]){
        parent[p] = parent[parent[p]];
        p = parent[p];
    }
    return p;
9 }