区间dp

概念

所谓区间dp，顾名思义就是在一段区间上的动态规划。它既要满足dp问题的最优子结构和无后效性外，还应该符合在区间上操作的特点。我的理解是往往会对区间进行合并操作。抑或是单个元素（可看成一个小区间）跨区间进行操作。例如括号匹配问题，石子合并问题（通过多次的相邻合并，最后实质上会产生跨区间的合并，如果你把其中的石子看作参考系的话就很容易感觉出来），还有在整数中插入运算符号的问题（利用运算符的优先级以及交换律可看出）

这样以来，如果我们要得知一个大区间的情况，由于它必定是由从多个长度不一的小区间转移而来（转移情况未知），我们可以通过求得多个小区间的情况，从而合并信息，得到大区间。

对于一个长度为n的区间，确定它的子区间需要首尾两个指针，显然子区间数量级为n²，那区间dp的复杂度也就为n²

模板

for (int len = 1; len < n; len++) { //操作区间的长度
        for (int i = 0, j = len; j <= n; i++, j++) { //始末
            //检查是否匹配（非必须）
            for (int s = i; s < j; s++) {
                //update
            }
        }
    }

经典实例

1、石子问题

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

#include <cstdio>
#define min(x, y) (x > y ? y : x)
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int maxn = 210;
int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];
int a[maxn];

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    int n;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        }
        for (int len = 1; len < n; len++) { //操作区间的长度
            for (int i = 1, j = len + 1; j <= n; i++, j++) { //始末
                //检查是否匹配（非必须）
                dp[i][j] = INF;
                for (int s = i; s < j; s++) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][s] + dp[s + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
                }
            }
        }
        printf("%d
", dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

2、括号匹配

题目大意：给一个括号序列，问序列中合法的括号最多有多少个，若A合法，则[A]，(A)均合法，若A,B合法则AB也合法
题目分析：和POJ 1141那道经典括号匹配类似，这题更简单一些，想办法把问题转化，既然要求最大的括号匹配数，我们考虑加最少的括号，使得整个序列合法，这样就转变成1141那题，开下脑动类比二分图最大匹配的性质，最大匹配＋最大独立集＝点数，显然要加入最少的点使序列合法，则加的最少的点数即为|最大独立集|，我们要求的是原序列的|最大匹配|，下面给出转移方程，和1141一模一样
dp[i][i] = 1;
然后枚举区间长度
1）外围匹配：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
2）外围不匹配，枚举分割点：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]); (i <= k < j)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
char str[maxn];
int dp[maxn][maxn];

bool ck(int i, int j) {
    if ((str[i] == '(' && str[j] == ')') || (str[i] == '[' && str[j] == ']')) {
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    while (~scanf("%s", str)) {
        if (str[0] == 'e') break;
        
        int len;
        len = strlen(str);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int l = 1; l < len; l++) {  //len =  j - i 为当前区间长度
            for (int i = 0, j = l; j < len; i++, j++) { // i++, j++
                if (ck(i, j)) { // 匹配
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                }
                // 讨论区间合并情况，求最大值
                for (int pos = i; pos < j; pos++) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][pos] + dp[pos + 1][j]);
                }
            }
        }
        printf("%d
", dp[0][len - 1]);
        
    }
    return 0;
}