【luogu3868】【TJOI2009】猜数字[模板] [数论 中国剩余定理]

P3868 [TJOI2009]猜数字

是一道中国剩余定理的模版题  

 

$$中$$

$$求$$

m₁,m₂...m_n两两互质 对于任意整数a₁,a₂...a_n有且只有一个解：

x=Σ^k_i=1 a_i*M/m_i*t_i  (mod m1*m2..*mk) 其中M=m1*m2*...mk，t_i为同余方程M/m_i*t_i≡1(mod m_i)的解，即mi的逆元

 所有数据中，第一组数字的绝对值不超过10⁹（可能为负数），第二组数字均为不超过6000的正整数，且第二组里所有数的乘积不超过10¹⁸

关于快速乘 来自题解大佬的说法

快速乘就是用来处理在爆long long 的边缘来回试探的乘法下要取模的一种骚操作

其实应该叫龟速乘

核心思想就是把一个数按二进制拆分，然后一位一位对应乘。

和快速幂差不多

int qmul(int a,int b,int mod)
{
    int ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;b>>=1;
    }
    return ans;
}

中国剩余定理：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll k,a[15],m[15],M;

template<class t>void rd(t &x)
{
    x=0;int w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x=w?-x:x;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里德
{
    if(!b) {x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y,y=t-a/b*y;
}

ll qmul(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll china()
{
    ll ans=0,M=1,x,y;
    for(int i=1;i<=k;++i) M*=m[i];
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        ll Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],x,y);//求同余方程解
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        ans=(ans+qmul(a[i],qmul(Mi,x,M),M))%M;//快速乘 防止爆long long 
    }
    return (ans+M)%M; 
}

int main()
{
    rd(k);
    for(int i=1;i<=k;++i) rd(a[i]);
    for(int i=1;i<=k;++i) rd(m[i]);
    printf("%lld",china());
    return 0;
}