Barrett reduction算法

参考文章

1.模乘的两种优化

1.蒙哥马利模乘算法

2.Barrett reduction算法

使用算法1需要满足条件,模数N和进制数R互质

当不符合此条件时,使用算法2

这次来记录下第二种算法,防止遗忘

2.先说一下流程

b进制下,求 x mod m,默认大于0

m为k位数(b进制下),x位数小于等于2*k

//b^n代表b的n次幂,mu=b^2k / m,可以预计算
int BaRdc(x){
      q1 = x / b^(k-1);//右移k-1位,取整,后面同
      q2 = q1 * mu;
      q3 = q2 / b^(k+1);//移位
      r1 = x % b^(k+1);//取低k位,因为mod m,m是k位的,所以只需看低k位即可
      r2 = (q3 * m) % b^(k+1);//低k位
      r = r1 - r2;//低k位相减
      if ( r > m ) r -= m;
      return r;
}

3.原理说明

(mu=[frac{b^{2k}}{m} ])
(q_{1} =[frac{x}{b^{k-1} } ])方括号代表取整
(q_{2} =q_{1} imes mu)
(q_{3} =[frac{q_{2}}{b^{k+1}} ])
可以得到几个范围
(frac{x}{b^{k-1}}-1< q_{1} leq frac{x}{b^{k-1}})
(frac{b^{2k}}{m}-1< mu leq frac{b^{2k}}{m}) 这两个应该很明显
(frac{x imes b^{k+1}}{m}-frac{b^{2k}}{m}-frac{x}{b^{k-1}}+1< q_{2} leq frac{x imes b^{k+1}}{m}) 两个范围相乘
(frac{x}{m}-frac{b^{k-1}}{m}-frac{x}{b^{2k}}+frac{1}{b^{k+1}}< q_{3} leq frac{x}{m})
另外还有两个显然的条件
(frac{b^{k-1}}{m}leq 1,frac{x}{b^{2k}}leq 1)
m在b进制下为k位,x在b进制下不大于2k位
所以进行下放缩,两项放缩一项舍去,(frac{x}{m}-2< q_{3} leq frac{x}{m})
设(d=[x/m])
q3是整数,很容易观察到,(d-1leq q_{3} leq d)
q3应该大概率为d
如果q3=d,(x mod m=(x-q_{3}m)mod m)
q3=d-1时再减去一个m即可