关于矩阵的分解的专题讨论

$f命题：$$f(正定阵的分解)$设$A$为$n$阶实对称正定阵，则存在唯一的正定阵$S$，使得$A = {S^m}left( {m in {N_ + }} ight)$

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$f命题：$$f(正定阵分解的特例)$设$A$为$n$阶实对称正定阵，则存在正定阵$S$，使得$A = {S^2} = S'S$

$f命题：$$f(矩阵的极分解)$任意实可逆阵$A$均可分解为正定阵$B$与正交阵$C$之积，且分解式唯一

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$f命题：$$f(Fitting分解)$设$A in {M_n}left( F ight)$，则存在可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP = left( {egin{array}{*{20}{c}}D&0\0&Nend{array}} ight)$，其中$D$为可逆阵，$N$为幂零阵

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$f命题：$$f(矩阵的QR分解)$设$A$为实可逆阵，则存在正交阵$Q$与实可逆上三角阵$R$，使得$A = QR$，且分解式唯一

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$f命题：$$f(矩阵的奇异值分解)$设$A in {M_{m imes n}}left( R ight)$，则存在正交阵$U,V$，使得[UAV = diagleft( {{sigma _1}, cdots ,{sigma _r},0, cdots ,0} ight)]

其中${sigma _1}, cdots ,{sigma _r}$为$A'A$的非零特征值的算术平方根

$f命题：$$f(Voss分解)$任意矩阵$A$均可分解为两个对称阵之积，且其中之一可逆

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$f命题：$$f(Jordan分解)$(1)任意矩阵$A$均可分解为$A = B + C$，且$BC = CB$，其中$B$为可对角化矩阵，$C$为幂零阵

(2)设$A$为$n$阶复方阵，则存在常数项等于$0$的多项式$gleft( lambda   ight),hleft( lambda   ight)$，使得$gleft( A ight)$为可对角化矩阵，$hleft( A ight)$为幂零阵，并且$A = gleft( A ight) + hleft( A ight)$

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$f命题：$设$A$为$n$阶实矩阵，其特征值都是实数，且$AA' = A'A$，则$A$为实对称阵

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$f命题：$