关于可交换阵与数量阵的专题讨论

可交换矩阵

$f命题：$设$sigma  in Lleft( {V,n,C} ight)$，${f_sigma }left( lambda   ight)$是$sigma$的特征多项式，且$left( {{f_sigma }left( lambda   ight),{{f'}_sigma }left( lambda   ight)} ight) = 1$，则

   (1)$sigma au  = au sigma $当且仅当$sigma$的特征向量都是$ au $的特征向量

   (2)$sigma au  = au sigma $当且仅当$ au $是${sigma ^0},{sigma ^1},{sigma ^2}, cdots ,{sigma ^{n - 1}}$的线性组合

   (3)$sigma au  = au sigma $当且仅当存在次数小于$n$的多项式$f(x)$，使得$ au  = fleft( sigma   ight)$

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$f命题：$设$sigma , au  in Lleft( {V,n,F} ight)$，且${sigma ^2} = sigma $，则$sigma au  = au sigma $当且仅当$Kersigma $和$Imsigma $均为$ au$的不变子空间

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$f命题：$设$A in {R^{n imes n}}$，已知$A$在${R^{n imes n}}$中的中心化子[Cleft( A ight) = left{ {X in {R^{n imes n}}|AX = XA} ight}]是${R^{n imes n}}$的子空间，证明：当$A$为实对称阵时，$dim Cleft( A ight) geqslant n$，且等号成立当且仅当$A$有$n$个不同的特征值

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$f命题：$设$sigma , au $为$n$维线性空间$V$的线性变换，并且各自有特征向量组成的基，则$sigma au  = au sigma $的充要条件是存在$V$中的一组基，使得每个基向量都是$sigma$与$ au$的公共特征向量

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$f命题：$设${A_{n imes n}}$的特征多项式与最小多项式相同，则存在$B$，使得$AB=BA$当且仅当存在次数$leqslant n - 1$的多项式$f(x)$，使得$B=f(A)$

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数量矩阵

$f命题：$设$V$为$n$维复线性空间，$M$是$V$上一些线性变换组成的非空集合，已知$M$中的元素没有非平凡的公共不变子空间，且线性变换$mathcal{B}$满足[mathcal{A}mathcal{B} = mathcal{B}mathcal{A},forall mathcal{A} in M]证明：必存在复数$lambda $，使得$mathcal{B} = lambda mathcal{I}$，其中$mathcal{I}$为恒等变换

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$f命题：$设${F^n}$为数域$F$上的$n$维向量空间，且$sigma :{F^n} o {F^n}$为线性变换，若对任意的$A in {M_n}left( F ight)$，有[sigma left( {Aalpha } ight) = Asigma left( alpha ight),forall alpha in {F^n}]
证明：存在$lambda in F$，使得$sigma = lambda cdot id{F^n}$，其中$id{F^n}$为恒等变换

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$f命题：$

 

附录1(可交换阵) 

$f命题：$设$A,B in {M_n}left( F ight)$，且矩阵$A$各特征值互异，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化

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$f命题：$设$A,B in {M_n}left( F ight)$，且$A,B$均可对角化，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化

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$f命题：$设$A,B$均为$n$阶实对称阵，若$AB = BA$，则存在正交阵$Q$，使得${Q^{ - 1}}AQ,{Q^{ - 1}}BQ$可同时相似对角化

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$f命题：$设$A,B in {M_n}left( F ight)$，若$AB = BA$，则存在可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP,{P^{ - 1}}BP$可同时上三角化

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$f命题：$

附录2(数量阵)

$f命题：$

 

egin{conclusion}$A=aE_n$当且仅当对任意的$n$阶矩阵$B$，有$AB=BA$
end{conclusion}
证明quad必要性显然，下面证明充分性\取$B = diagleft( {1,2, cdots ,n} ight)$，由$AB=BA$知，$A = diagleft( {{a_{11}},{a_{22}}, cdots ,{a_{nn}}} ight)$；再取$B = left( {egin{array}{*{20}{c}}
0&{{E_{n - 1}}} \
1&0
end{array}} ight)$，则由$AB=BA$知，${a_{11}} = {a_{22}} = cdots = {a_{nn}}$，即$A=aE_n$
egin{remark}这里矩阵$left( {egin{array}{*{20}{c}}
0&{{E_{n - 1}}} \
1&0
end{array}} ight)$称为循环矩阵
end{remark}
egin{remark}把这里的矩阵$B$改为任意可逆阵，则结论仍然成立，下面结论可用同样的方法证明
end{remark}