关于核空间与像空间的专题讨论

$f命题：$设${W_1},{W_2}$是线性空间$V$的任意两个子空间，则

$(1)$${W_1}$一定是$V$的某个线性变换的核

$(2)$${W_1}$一定是$V$的某个线性变换的像

$(3)$若$dim{W_1}{ m{ + }}dim{W_2}{ m{ = }}n$，则一定存在$sigma in Lleft( V ight)$，使得${W_1}{ m{ = }}Kerleft( sigma ight),{W_2}{ m{ = }}Imleft( sigma ight)$

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$f命题：$设${sigma _1},{sigma _2} in Lleft( {V,n,F} ight)$，则$Ker{sigma _1} subseteq Ker{sigma _2}$当且仅当存在线性变换$sigma $，使得${sigma _2} = sigma {sigma _1}$.若$Ker{sigma _1} = Ker{sigma _2}$，则$sigma $为可逆线性变换

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$f命题：$设${sigma _1},{sigma _2} in Lleft( {V,n,F} ight)$，则$Im{sigma _1} subseteq Im{sigma _2}$当且仅当存在线性变换$sigma $，使得${sigma _1} = {sigma _2}sigma $.若$Im{sigma _1} = Im{sigma _2}$，则$sigma $为可逆线性变换

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$f命题：$设$sigma , au  in Lleft( {V,n,F} ight),{sigma ^2} = sigma ,{ au ^2} = au $，则

   (1)$Imsigma  = Im au  Leftrightarrow sigma au  = au , au sigma  = sigma $

   (2)$Kersigma  = Ker au  Leftrightarrow sigma au  = sigma , au sigma  = au $

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$f命题：$