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$f命题1：$设$left{ {{a_n}} ight}$为单调增加的数列,则$lim limits_{n o infty } {a_n} = mathop {Sup}limits_{k ge 1} left{ {{a_k}} ight}$

证明：记[M = mathop {Sup}limits_{k ge 1} left{ {{a_k}} ight}]
$left( 1 ight)$当$M < + infty $时,由上确界的定义知,对任给$varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得
[M - varepsilon < {a_N} le M]
由于$left{ {{a_n}} ight}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有
[M - varepsilon < {a_N} le {a_n} le M < M + varepsilon ]
从而由数列极限的定义即证

$left( 2 ight)$当$M = + infty $时,由上确界的定义知,对任给$varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得
[{a_N} > varepsilon ]
由于$left{ {{a_n}} ight}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有
[{a_n} ge {a_N} > varepsilon ]
从而由数列极限的定义即证