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  • 5656265235

    证明:$(1)$设$rleft( A ight) = r$,则由$Jordan$标准形理论知,存在可逆阵$P$,使得

    [{P^{ - 1}}AP = left( {egin{array}{*{20}{c}}
    0&{{E_r}}\
    0&0
    end{array}} ight)]

    从而可知

    [{P^{ - 1}}{A^{k - 1}}P = {left( {{P^{ - 1}}AP} ight)^{k - 1}} = {left( {egin{array}{*{20}{c}}
    0&{{E_r}}\
    0&0
    end{array}} ight)^{k - 1}}]

    由于${A^{k - 1}} e 0$,则${P^{ - 1}}{A^{k - 1}}P e 0$,从而$rleft( A ight) = r ge k - 1$,而同理由${A^k} = 0$知,$rleft( A ight) = r < k < k + 1 <  cdots  < n$,

    所以有$rleft( A ight) $的最小值为$k-1$,即$Ax=0$的解空间维数的最大值为$n-(k-1)$

    $(2)$当$A$的秩最大时,$Ax=0$解空间的维数最小。此时若$pmid n$,则维数为$frac{n}{p}$;若$p mid n$,则维数为$left[ {frac{n}{p}} ight] + 1$

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ly758241/p/3734832.html
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